Hvordan beregne sidene og vinklene til en trekant?

Det er forskjellige måter å beregne sider og vinkler av en trekant. Disse avhenger av hvilken type trekant du jobber med.

I denne muligheten vil vi vise hvordan du skal beregne sidene og vinklene til en riktig trekant, forutsatt at visse trekantdata med kjent.

Elementene som skal brukes er:

- Pythagorasetningen

Gitt en riktig trekant med bena "a", "b" og hypotenuse "c", er det sant at "c² = a² + b²".

- Areal av en trekant

Formelen for å beregne arealet av en trekant er A = (b × h) / 2, hvor "b" er lengden på basen og "h" lengden på høyden.

- Vinkler av en trekant

Summen av de tre indre vinklene til en trekant er 180º.

- De trigonometriske funksjonene:

Tenk på en riktig trekant. Deretter defineres sinus-, cosinus- og tangent-trigonometriske funksjoner av beta (β) vinkelen som følger:

synd (β) = CO / Hip, cos (β) = CA / Hip og tan (β) = CO / CA.

Hvordan beregne sidene og vinklene til en riktig trekant?

Gitt en riktig trekant ABC, kan følgende situasjoner oppstå:

1- De to benene er kjent

Hvis kateteret "a" måler 3 cm og kateteret "b" måler 4 cm, så beregnes verdien av "c" Pythagorasetningen. Når man erstatter verdiene for "a" og "b", oppnås det at c² = 25 cm², hvilket innebærer at c = 5 cm.

Nå, hvis vinkelen β er motsatt kateteret "b", så synd (β) = 4/5. Ved anvendelse av inverse sinusfunksjonen, i denne siste likestilling oppnår vi at β = 53.13º. To indre vinkler av trekanten er allerede kjent.

La θ være vinkelen som gjenstår å være kjent, så 90º + 53,13º + θ = 180º, hvorfra vi oppnår at θ = 36,87º.

I dette tilfellet er det ikke nødvendig at de kjente sidene er de to beina, det viktigste er å vite verdien av noen to sider.

2- Et kateter og området er kjent

La a = 3 cm det kjente benet og A = 9 cm² området av trekanten.

I en høyre trekant kan ett ben betraktes som en base og den andre som høyde (siden de er vinkelrette).

Anta at "a" er basen, derfor 9 = (3 × h) / 2, hvorfra det oppnås at det andre kateteret måler 6 cm. For å beregne hypotenusen fortsetter vi som i det forrige tilfellet, og vi oppnår det c = √45 cm.

Nå, hvis vinkelen p er motsatt benet "a", så synd (β) = 3 / √45. Når du fjerner β, oppnår vi at verdien er 26.57º. Det er bare å vite verdien av den tredje vinkelen θ.

Det er fornøyd at 90º + 26,57º + θ = 180º, hvor det dannes at θ = 63,43º.

3- En vinkel og et ben er kjent

La β = 45 ° være den kjente vinkelen og a = 3 cm det kjente benet, hvor benet "a" er motsatt vinkelen β. Ved hjelp av tangentens formel får vi det tg (45º) = 3 / CA, hvor det viser seg at CA = 3 cm.

Ved hjelp av Pythagorasetningen får vi det c² = 18 cm², det vil si c = 3√2 cm.

Det er kjent at en vinkel måler 90º og at β måler 45º, hvorfra det konkluderes at den tredje vinkelen måler 45º.

I dette tilfellet trenger ikke den kjente siden å være et ben, det kan være en av de tre sidene av trekanten.

referanser

1. Landaverde, F. d. (1997). geometri (Reprint ed.). fremgang.
2. Leake, D. (2006). trekanter (illustrert utgave). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). geometrier. CR-teknologi.
5. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometri og Analytisk Geometri. Pearson Education.