Hvor mange løsninger har en kvadratisk ligning?

En kvadratisk eller kvadratiske ligningen, kan ha ingen, én eller to reelle løsninger, avhengig av de koeffisienter som fremkommer i ligning.

Hvis du jobber med komplekse tall, kan du si at hver kvadratisk ligning har to løsninger.

For å starte en kvadratisk ligning er en ligning av formen ax² + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tall og x er en variabel.

X1 er sagt at en oppløsning av det ovenfor kvadratisk ligning hvis skifting x ved ligningen x1 er oppfylt, er det, hvis (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Hvis du for eksempel har ligningen x²-4x + 4 = 0, er x1 = 2 løsningen siden (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Omvendt, hvis de er substituert x2 = 0, tilveiebrakt (0) ²-4 (0) + 4 = 4 og som 4 ≠ 0 deretter x2 = 0 er ingen løsning på den kvadratiske ligning.

Løsninger av en kvadratisk ligning

Antallet av løsninger av en kvadratisk ligning kan skilles i to tilfeller som er:

1.- I reelle tall

Når du arbeider med ekte tall, kan kvadratiske ligninger ha:

-Null løsninger: det vil si at det ikke er noe reelt tall som tilfredsstiller kvadratisk ligning. For eksempel er ligningen gitt av ligningen x² + 1 = 0 det ikke noe reelt tall som tilfredsstiller denne ligningen, siden begge x² er større enn eller lik null og 1 er strengere enn null slik at summen blir større streng som null.

-En gjentatt løsning: Det er en enkelt reell verdi som tilfredsstiller kvadratisk ligning. For eksempel er den eneste løsningen til ligningen x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.

-To forskjellige løsninger: Det er to verdier som tilfredsstiller kvadratisk ligning. For eksempel har x² + x-2 = 0 to forskjellige løsninger som er x1 = 1 og x2 = -2.

2.- I komplekse tall

Når du arbeider med komplekse tall kvadratiske likninger har alltid to løsninger som er z2 z1 og z2 hvor Z1 er den konjugerte. I tillegg kan de bli klassifisert i:

-komplekset: løsningene er av formen z = p ± qi, hvor p og q er reelle tall. Denne saken tilsvarer det første tilfellet av den forrige listen.

-Rene komplekser: er når den virkelige delen av løsningen er lik null, det vil si at løsningen har formen z = ± qi, hvor q er et reelt tall. Denne saken tilsvarer det første tilfellet av den forrige listen.

-Komplekser med imaginær del lik null: er når den komplekse delen av løsningen er lik null, det vil si løsningen er et reelt tall. Denne saken tilsvarer de to siste tilfellene i forrige liste.

Hvordan beregnes løsningene av en kvadratisk ligning??

For å beregne løsningene av en kvadratisk ligning, brukes en formel kjent som "resolveren", som sier at løsningene av en ligning ax² + bx + c = 0 er gitt ved uttrykket av følgende bilde:

Mengden som vises i kvadratroten kalles diskriminanten av den kvadratiske ligningen og er betegnet med bokstaven "d".

Den kvadratiske ligningen vil ha:

-To virkelige løsninger hvis, og bare hvis, d> 0.

-En reell løsning gjentas hvis, og bare hvis, d = 0.

-Null ekte løsninger (eller to komplekse løsninger) hvis, og bare hvis, d<0.

eksempler:

-Løsningene i ligningen x² + x-2 = 0 er gitt av:

-Ligningen x²-4x + 4 = 0 har en gjentatt løsning som er gitt av:

-Løsningene i ligningen x² + 1 = 0 er gitt av:

Som du kan se i dette siste eksempelet, er x2 konjugatet til x1.

referanser

1. Kilder, A. (2016). Grunnleggende matematikk. En introduksjon til beregning. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematikk: kvadratiske ligninger.: Hvordan løse en kvadratisk ligning. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematikk for administrasjon og økonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematikk 1 SEP. terskel.
5. Preciado, C. T. (2005). Matematikkfag 3o. Editorial Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra jeg er lett! Så lett. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Education.