Polynomiske ligninger (med løste øvelser)



den polynom-ligninger er en uttalelse som øker likningen av to uttrykk eller medlemmer, hvor minst ett av vilkårene som utgjør hver side av likestilling er polynomene P (x). Disse ligningene er navngitt i henhold til graden av deres variabler.

Generelt er en ligning en setning som etablerer likestilling av to uttrykk, hvor i minst en av disse er det ukjente mengder, som kalles variabler eller ukjente. Selv om det er mange typer likninger, er de generelt klassifisert i to typer: algebraisk og transcendent.

Polynomiske ligninger inneholder bare algebraiske uttrykk, som kan ha en eller flere ukjente som er involvert i ligningen. I henhold til eksponenten (grad) de har det kan klassifiseres i første grad (lineær), annengrads (kvadratisk), tredje grad (kubisk), fjerde klasse (kvar) av grad større enn eller lik fem og irrasjonell.

index

  • 1 Egenskaper
  • 2 typer
    • 2.1 Første klasse
    • 2.2 Andre grad
    • 2.3 Resolver
    • 2,4 høyere klasse
  • 3 Øvelser løst
    • 3.1 Første øvelse
    • 3.2 Andre øvelse
  • 4 referanser

funksjoner

Polynomiske ligninger er uttrykk som dannes av en likestilling mellom to polynomene; det vil si ved de endelige summene av multiplikasjoner mellom verdier som er ukjente (variabler) og faste tall (koeffisienter), hvor variablene kan ha eksponenter, og deres verdi kan være et positivt heltall, inkludert null.

Eksponentene bestemmer graden eller typen av ligningen. Det uttrykket som har den høyeste verdieksponenten, representerer den absolutte grad av polynomet.

Polynom-ligninger er også kjent som algebraiske ligninger, deres koeffisienter kan være ekte eller komplekse tall og variabler er ukjente tall representert ved et brev, for eksempel: "x".

Ved å erstatte en verdi for variabelen "x" i P (x) resultatet er null (0), så er det sagt at denne verdien tilfredsstiller ligningen (det er en oppløsning), og kalles vanligvis roten av polynomet.

Når en polynomisk ligning er utviklet, vil du finne alle røttene eller løsningene.

typen

Det finnes flere typer polynom-ligninger, som er differensiert i henhold til antall variabler, og også i henhold til eksponeringsgrad.

Således polynomiske ligninger, hvor det første uttrykket er et polynom som har en ukjent, mens deres grad kan være et hvilket som helst naturlig tall (n) og det andre leddet er null, kan uttrykkes som følger:

tiln * xn + tiln-1 * xn-1 +... + a1 * x1 + til0 * x0 = 0

der:

- tiln, tiln-1 og a0, de er ekte koeffisienter (tall).

- tiln det er forskjellig fra null.

- Eksponenten n er et positivt heltall som representerer ekvationsgraden.

- x er variabelen eller ukjent som må søkes.

Den absolutte eller høyere grad av en polynomekvasjon er den eksponenten av større verdi blant alle de som danner polynomet; På denne måten er ligningene klassifisert som:

Første klasse

Polynomiske ligninger av første grad, også kjent som lineære ligninger, er de i hvilke graden (den største eksponent) er lik 1, er det polynom av formen P (x) = 0; og den består av en lineær term og et selvstendig uttrykk. Det er skrevet som følger:

øks + b = 0.

der:

- a og b er reelle tall og en ≠ 0.

- øks er det lineære uttrykket.

- b er det selvstendige uttrykket.

For eksempel er ligningen 13x - 18 = 4x.

For å løse lineære ligninger må alle betingelsene som inneholder det ukjente x, overføres til den ene siden av likestillingen, og de som ikke har, blir flyttet til den andre siden for å klare det og få en løsning:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

På den måten har den gitte ligningen en enkelt løsning eller rot, som er x = 2.

Andre klasse

Polynomlikninger av andre grad, også kjent som gradslikninger er de i hvilke graden (den største eksponent) er lik 2, er det polynom av formen P (x) = 0, og er sammensatt av en kvadratisk sikt , en lineær og en uavhengig. Det uttrykkes som følger:

øks2 + bx + c = 0.

der:

- a, b og c er reelle tall og en ≠ 0.

- øks2 er det kvadratiske uttrykket, og "a" er koeffisienten til kvadratisk term.

- bx er den lineære termen, og "b" er koeffisienten for den lineære termen.

- c er det uavhengige uttrykket.

resolvente

Vanligvis er løsningen til denne typen ligninger gitt ved å rydde x fra ligningen, og den blir igjen som følger, som kalles en resolver:

Der, (f2 - 4ac) kalles diskriminanten av ligningen og dette uttrykket bestemmer antall løsninger som ligningen kan ha:

- Ja (f2 - 4ac) = 0, vil ligningen ha en enkelt løsning som er dobbelt; det vil si at du vil ha to like løsninger.

- Ja (f2 - 4ac)> 0, vil ligningen ha to forskjellige virkelige løsninger.

- Ja (f2 - 4AC) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

For eksempel har du ligningen 4x2 + 10x - 6 = 0, for å løse det, identifiser først vilkårene a, b og c, og erstatt det deretter i formelen:

a = 4

b = 10

c = -6.

Det er tilfeller der polynomiale ligninger i andre grad ikke har de tre betingelsene, og det er derfor de løses annerledes:

- I tilfelle at de kvadratiske ligningene ikke har det lineære uttrykket (det vil si b = 0), vil ligningen bli uttrykt som økse2 + c = 0. For å løse det, blir det ryddet x2 og kvadratrøttene blir brukt i hvert medlem, og husker at de to mulige tegnene som det ukjente kan ha, blir vurdert:

øks2 + c = 0.

x2 = - c ÷ a

For eksempel, 5 x2 - 20 = 0.

5 x2 = 20

x2 = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x1 = 2.

x2 = -2.

- Når den kvadratiske ligningen ikke har et selvstendig uttrykk (dvs. c = 0), vil ligningen bli uttrykt som økse2 + bx = 0. For å løse det må vi trekke ut den vanlige faktoren av det ukjente x i det første medlemmet; siden ligningen er lik null, er det sant at minst en av faktorene vil være lik 0:

øks2 + bx = 0.

x (akse + b) = 0.

På den måten må du:

x = 0.

x = -b ÷ a.

For eksempel: du har ligningen 5x2 + 30x = 0. Første faktor:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

To faktorer genereres som er x og (5x + 30). Det antas at en av disse vil være lik null og den andre løsningen vil bli gitt:

x1 = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x2 = -6.

Major grad

De polynomiske ligningene i større grad er de som går fra tredje grad og fremover, som kan uttrykkes eller løses med den generelle polynomekvasjon i en hvilken som helst grad:

tiln * xn + tiln-1 * xn-1 +... + a1 * x1 + til0 * x0 = 0

Dette brukes fordi en ligning med en grad som er større enn to er resultatet av faktoriseringen av et polynom; det vil si, det uttrykkes som multiplikasjon av polynomene av grad en eller høyere, men uten ekte røtter.

Løsningen av denne typen likninger er direkte, fordi multiplikasjonen av to faktorer vil være lik null hvis noen av faktorene er null (0); Derfor må hver av de polynomiske ligningene som er funnet, løses, som matcher hver av dens faktorer til null.

For eksempel har du ligningen for tredje grad (kubikk) x3 + x2 +4x + 4 = 0. For å løse det, må følgende trinn følges:

- Vilkårene er gruppert:

x3 + x2 +4x + 4 = 0

(x3 + x2 ) + (4x + 4) = 0.

- Lammene er brutt ned for å få den ukjente fellesfaktoren:

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4)*(x + 1) = 0.

- På denne måten oppnås to faktorer som må være lik null:

(x2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Det kan ses at faktoren (x2 + 4) = 0 vil ikke ha en ekte løsning, mens faktoren (x + 1) = 0 ja. Derfor er løsningen:

(x + 1) = 0

x = -1.

Løste oppgaver

Løs de følgende ligningene:

Første øvelse

(2x2 + 5)*(x - 3)*(1 + x) = 0.

oppløsning

I dette tilfellet uttrykkes ligningen som multiplikasjon av polynomene; det er det faktum. For å løse det må hver faktor være lik null:

- 2x2 + 5 = 0, har ingen løsning.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Den gitte ligningen har således to løsninger: x = 3 og x = -1.

Andre øvelse

x4 - 36 = 0.

oppløsning

Det ble gitt et polynom, som kan omskrives som en forskjell på firkanter for å komme frem til en raskere løsning. Dermed forblir ligningen:

(x2 + 6)*(x2 - 6) = 0.

For å finne løsningen av ligningene, er begge faktorene lik null:

(x2 + 6) = 0, har ingen løsning.

(x2 - 6) = 0

x2 = 6

x = ± √6.

Dermed har den opprinnelige ligningen to løsninger:

x = √6.

x = - √6.

referanser

  1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
  2. Angel, A. R. (2007). Elementær algebra Pearson Education,.
  3. Baer, ​​R. (2012). Lineær Algebra og Prosjektiv Geometri. Courier Corporation.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
  5. Castaño, H. F. (2005). Matematikk før beregningen. Universitetet i Medellin.
  6. Cristóbal Sánchez, M.R. (2000). Matematisk manual for olympisk forberedelse. Universitat Jaume I.
  7. Kreemly Pérez, M.L. (1984). Overlegen Algebra I.
  8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematikk 3.