Faktoriseringsmetoder og eksempler

den faktorisering er en metode der et polynom uttrykkes i form av multiplikasjon av faktorer, som kan være tall, bokstaver eller begge deler. For å faktorisere de faktorene som er felles for betingelsene grupperes, og på denne måten blir polynomet dekomponert i flere polynomier.

Således, når faktorene multipliserer hverandre, er resultatet det opprinnelige polynomet. Factoring er en veldig nyttig metode når du har algebraiske uttrykk, fordi det kan konverteres til multiplikasjon av flere enkle ord; For eksempel: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Det er tilfeller der et polynom ikke kan faktureres fordi det ikke er en felles faktor mellom dens vilkår; Derfor er disse algebraiske uttrykkene delbart bare mellom seg selv og med 1. For eksempel: x + y + z.

I et algebraisk uttrykk er den vanlige faktoren den største felles divisoren av betingelsene som komponerer den.

index

• 1 Faktoreringsmetoder
  • 1.1 Faktoring ved felles faktor
  • 1,2 Eksempel 1
  • 1.3 Eksempel 2
  • 1.4 Factoring ved å gruppere
  • 1,5 Eksempel 1
  • 1.6 Faktoring ved inspeksjon
  • 1.7 Eksempel 1
  • 1,8 Eksempel 2
  • 1.9 Factoring med bemerkelsesverdige produkter
  • 1.10 Eksempel 1
  • 1.11 Eksempel 2
  • 1.12 Eksempel 3
  • 1.13 Factoring med Ruffini's regel
  • 1.14 Eksempel 1
• 2 referanser

Factoring metoder

Det finnes flere factoring metoder, som brukes avhengig av saken. Noen av disse er følgende:

Factoring av felles faktor

I denne metoden er de faktorer som er vanlige identifisert; det vil si de som gjentas i uttrykkets uttrykk. Deretter blir fordelingsegenskapen brukt, den maksimale felles divisor er fjernet og faktoriseringen er fullført.

Med andre ord er den felles uttryksfaktoren identifisert, og hvert begrep er delt mellom det; De resulterende vilkårene blir multiplisert med den største fellesfaktoren for å uttrykke faktoriseringen.

Eksempel 1

Faktor (f²x) + (b²y).

oppløsning

Først er det fellesfaktoren til hvert begrep, som i dette tilfellet er b², og så er betingelsene delt mellom den felles faktor som følger:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Faktoriseringen uttrykkes, multipliserer den vanlige faktoren med de resulterende termer:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Eksempel 2

Faktorisere (2a)²b³) + (3ab²).

oppløsning

I dette tilfellet har vi to faktorer som gjentas i hvert begrep som er "a" og "b", og som er forhøyet til en kraft. Å faktorere dem, først er de to begrepene brutt ned i sin lange form:

2_*til_*til_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Det kan observeres at faktoren "a" bare gjentas en gang i andre sikt, og faktoren "b" gjentas to ganger i den; så i første periode er det bare 2, en faktor "a" og en "b"; mens i andre sikt er det bare 3.

Derfor skriver vi tider som "a" og "b" gjentas og multipliseres med de faktorene som er igjen fra hvert uttrykk, som vist i bildet:

Faktorisering ved gruppering

Som ikke i alle tilfeller er den maksimale felles divisoren av et polynom klart uttrykt, det er nødvendig å gjøre andre trinn for å kunne omskrive polynomet og dermed faktor.

En av disse trinnene er å gruppere betingelsene i polynomet til flere grupper, og bruk deretter fellesfaktormetoden.

Eksempel 1

Faktor ac + bc + ad + bd.

oppløsning

Det er 4 faktorer der to er vanlige: i første termen er det "c" og i det andre er det "d". På denne måten grupperes og separeres de to begrepene:

(ac + bc) + (ad + bd).

Nå er det mulig å anvende fellesfaktormetoden, dividere hvert begrep med sin felles faktor og deretter multiplisere den fellesfaktoren med de resulterende termer, slik:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nå får du en binomial som er vanlig for begge termer. Til faktor blir det multiplisert med de gjenværende faktorene; På den måten må du:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktorisering ved inspeksjon

Denne metoden brukes til å faktorere kvadratiske polynomene, også kalt trinomialer; det vil si de som er strukturert som øks² ± bx + c, hvor verdien av "a" er forskjellig fra 1. Denne metoden brukes også når trinometalet har formen x² ± bx + c og verdien av "a" = 1.

Eksempel 1

Faktor x² + 5x + 6.

oppløsning

Du har et kvadratisk trinomial av formen x² ± bx + c. For å faktor det først må du finne to tall som, når det multipliseres, gir verdien av "c" (det vil si 6) og at summen er lik koeffisienten "b", som er 5. Disse tallene er 2 og 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

På denne måten blir uttrykket forenklet slik:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Hver term er fakturert:

- For (x² + 2x) det vanlige uttrykket er ekstrahert: x (x + 2)

- For (3x + 6) = 3 (x + 2)

Dermed forblir uttrykket:

x (x +2) + 3 (x +2).

Som du har en felles binomial, for å redusere uttrykket multipliserer dette med overskuddsvilkårene, og du må:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Eksempel 2

Faktor 4a² + 12a + 9 = 0.

oppløsning

Du har en kvadratisk trinomial av skjemaets økse² ± bx + c og for å faktor det hele uttrykket multipliseres med koeffisienten x²; i dette tilfellet 4.

den fjerde² + 12a +9 = 0

den fjerde² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² til² + 12a (4) + 36 = 0

Nå må vi finne to tall som, når de blir multiplisert sammen, gir som et resultat verdien av "c" (som er 36), og at når de blir til sammen, blir koeffisienten av begrepet "a", som er 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

På denne måten blir uttrykket omskrevet, med tanke på det² til² = 4a _* 4A. Derfor blir fordelingsegenskapen brukt for hvert begrep:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Endelig er uttrykket delt med koeffisienten til²; det vil si 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Uttrykket er som følger:

den fjerde² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring med bemerkelsesverdige produkter

Det er tilfeller der, for å fullt ut faktorere polynomene med de tidligere metodene, blir det en veldig lang prosess.

Det er derfor et uttrykk kan utvikles med formler av de bemerkelsesverdige produktene, og dermed blir prosessen enklere. Blant de mest brukte bemerkelsesverdige produktene er:

- Forskjellen mellom to firkanter: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Perfekt firkant av summen: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Perfekt firkant av en forskjell: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Forskjellen mellom to terninger: a³ - b³ = (a-b)_*(en² + ab + b²)

- Summen av to kuber: a³ - b³ = (a + b) _* (en² - ab + b²)

Eksempel 1

Faktor (5² - x²)

oppløsning

I dette tilfellet er det forskjell på to firkanter; Derfor brukes formelen til det bemerkelsesverdige produktet:

(en² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Eksempel 2

Faktor 16x² + 40x + 25²

oppløsning

I dette tilfellet har vi et perfekt firkant av en sum, fordi vi kan identifisere to termer kvadrert, og gjenværende sikt er et resultat av å multiplisere to ved kvadratroten av første sikt, ved kvadratroten av den andre sikt.

til² + 2ab + b² = (a + b)²

For faktoren beregnes kun kvadratrøttene av første og tredje termer:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Deretter separeres de to resulterende betingelsene med tegnet av operasjonen, og hele polynomet er kvadratet:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Eksempel 3

Faktor 27a³ - b³

oppløsning

Ekspresjonen representerer en subtraksjon hvor to faktorer heves til terningen. For å faktorere dem, brukes formelen til det bemerkelsesverdige produktet av terningsforskjellen, som er:

til³ - b³ = (a-b)_*(en² + ab + b²)

For å faktorisere, blir den kubiske roten av hvert term av binomialet ekstrahert og multiplisert med kvadratet av den første sikt, pluss produktet av det første ved andre sikt, pluss andre sikt ved plassen.

27.³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27.³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27.³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Factoring med Ruffini's regel

Denne metoden brukes når du har et polynom av grad større enn to, for å forenkle uttrykket til flere polynomier i mindre grad.

Eksempel 1

Faktor Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

oppløsning

Først se etter tallene som er divisorer på 12, som er det selvstendige uttrykket; Disse er ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 og ± 12.

Da er x erstattet av disse verdiene, fra laveste til høyeste, og dermed bestemmes det av hvilke verdier divisjonen vil være nøyaktig; det vil si resten må være 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Og så videre for hver divider. I dette tilfellet er faktorene som er funnet for x = -1 og x = 2.

Nå brukes Ruffini-metoden, ifølge hvilken uttrykkets koeffisienter blir delt mellom de faktorene som er funnet for at divisjonen skal være eksakt. Polynomevilkårene er bestilt fra høyeste til laveste eksponent; i tilfelle at et uttrykk med graden som følger i sekvensen mangler, plasseres en 0 på sin plass.

Koeffisientene er plassert i et skjema som sett i det følgende bildet.

Den første koeffisienten senkes og multipliseres med divisoren. I dette tilfellet er den første divisoren -1, og resultatet blir plassert i neste kolonne. Deretter legges verdien av koeffisienten vertikalt med det resultatet som ble oppnådd og resultatet er plassert under. På den måten blir prosessen gjentatt til siste kolonne.

Deretter gjentas den samme prosedyren igjen, men med den andre divisoren (som er 2) fordi uttrykket fortsatt kan forenkles.

Dermed vil polynomene for hver rot oppnådd ha en term (x - a), hvor "a" er verdien av roten:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

På den annen side må disse betingelsene multipliseres med resten av Ruffinis regel 1: 1 og -6, som er faktorer som representerer en karakter. På denne måten er uttrykket som er dannet: (x² + x - 6).

Å få resultatet av faktorisering av polynomet med Ruffini-metoden er:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

For å fullføre, kan polynomet av grad 2 som vises i forrige uttrykk, omskrives som (x + 3) (x-2). Derfor er den endelige faktoriseringen:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

referanser

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Slik lærer barna om Factoring til polynomial.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Grunnleggende matematikk med applikasjoner.
4. Roelse, P. L. (1997). Lineære metoder for polynomfaktorisering over sluttfelt: teori og implementeringer. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringer og faktorisering.