Homotety Egenskaper, Typer og Eksempler

den homotecia er en geometrisk forandring i flyet, hvor avstandene fra et fastpunkt kalt senter (O) multipliseres med en felles faktor. På denne måten svarer hvert punkt P til et annet punkt P 'produkt av transformasjonen, og disse er justert med punktet O.

Deretter utvider foreligger et samsvar mellom to geometriske figurer, hvor de transformerte punkter kalles homotetisk, og disse er på linje med et fast punkt og parallelle segmenter.

index

• 1 Homotecia
• 2 Egenskaper
• 3 typer
  • 3.1 Direkte homoteti
  • 3.2 Omvendt homoteti
• 4 Sammensetning
• 5 eksempler
  • 5.1 Første eksempel
  • 5.2 andre eksempel
• 6 Referanser

homotecia

Homotetien er en transformasjon som ikke har et kongruent bilde, fordi fra en figur vil en eller flere figurer av større eller mindre størrelse enn den opprinnelige figuren bli oppnådd; det vil si at homotetien forvandler et polygon til en annen lignende.

Den utvider seg for overholdelse bør tilsvare punkt til punkt og rett linje, slik at parene av homologe punkter er på linje med en tredje fast punkt, som er sentrum av homotecia.

På samme måte må parene av linjer som går med dem være parallelle. Forholdet mellom slike segmenter er en konstant kalt homotetitetsforholdet (k); på en slik måte at homotetien kan defineres som:

For å gjøre denne typen transformasjon starter du ved å velge et vilkårlig punkt, som vil være sentrum for homotetien.

Fra dette punktet blir linjesegmentene tegnet for hvert toppunkt av figuren som skal transformeres. Skalaen der gjengivelsen av den nye figuren er gjort, er gitt av grunnen til homotetien (k).

egenskaper

En av de viktigste egenskapene til homoteti er at alle homotetiske figurer av samme grunn er homotetisk (k). Blant andre fremragende egenskaper er følgende:

- Senteret for homotetien (O) er det eneste dobbeltpunktet og det forvandles til seg selv; det vil si, det varierer ikke.

- Linjene som går gjennom senteret forvandler seg selv (de er doble), men poengene som komponerer det er ikke doble.

- Rett som ikke går gjennom senteret, forvandles til parallelle linjer; På denne måten forblir homotetiens vinkler det samme.

- Bildet av et segment ved en homoteti av sentrum O og forholdet k, er et segment parallelt med dette og har k sin lengde. For eksempel, som vist i det følgende bildet, vil et segment AB av homotetisk resultere i et annet segment A'B ', slik at AB vil være parallelt med A'B' og k vil være:

- Homotetiske vinkler er kongruente; det vil si at de har samme mål. Derfor er bildet av en vinkel en vinkel som har samme amplitude.

På den annen side varierer homotetien avhengig av verdien av forholdet (k), og følgende tilfeller kan oppstå:

- Hvis konstanten k = 1, er alle punkter løst fordi de forvandler seg selv. Dermed faller den homotetiske figuren sammen med originalen, og transformasjonen vil bli kalt identitetsfunksjon.

- Hvis k ≠ 1, vil det eneste faste punktet være midtpunktet for homotetien (O).

- Hvis k = -1, blir homotetien en sentral symmetri (C); det vil si en rotasjon rundt C vil skje i en vinkel på 180^eller.

- Hvis k> 1, vil størrelsen på den transformerte figuren være større enn størrelsen på originalen.

- Ja 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Hvis k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

typen

Homotetien kan også klassifiseres i to typer, avhengig av verdien av forholdet (k):

Direkte homoteti

Det skjer hvis konstanten k> 0; det vil si at homotetiske punkter er på samme side med hensyn til senteret:

Faktor av forholdsmessighet eller forholdet mellom likhet mellom direkte homotetiske figurer vil alltid være positiv.

Omvendt homotetisk

Det skjer hvis den konstante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Faktor av proporsjonalitet eller forholdet mellom likhet mellom de homotetiske inverse tallene vil alltid være negativt.

sammensetningen

Når flere bevegelser blir gjort suksessivt til du får en tall som er lik originalet, oppstår det en sammensetning av bevegelser. Sammensetningen av flere bevegelser er også en bevegelse.

Sammensetningen mellom to homothecias resulterer i en ny homothecia; det vil si at vi har et homotetisk produkt hvor senteret vil være justert med midten av de to originale transformasjonene, og forholdet (k) er produktet av de to grunnene.

Dermed i sammensetningen av to H-homofiler₁(O₁, k₁) og H₂(O₂, k₂), multiplisere årsakene dine: k₁ x k₂ = 1 vil resultere i en homothet av forholdet k₃ = K₁ x k₂. Senteret for denne nye homotetien (O₃) vil være plassert på O rett₁ O₂.

Homotetien tilsvarer en flat og irreversibel forandring; hvis to homotheces er brukt som har samme senter og forhold, men med et annet tegn, vil den opprinnelige figuren bli oppnådd.

eksempler

Første eksempel

Påfør et homoteti til den angitte senterpolygonen (O), som ligger 5 cm fra punkt A og hvis forhold er k = 0,7.

oppløsning

Et hvilket som helst punkt velges som midtpunktet for homotetien, og fra denne strålen er tegnet av figurernes hjørner:

Avstanden fra sentrum (O) til punkt A er OA = 5; med dette kan du bestemme avstanden til et av de homotetiske punktene (OA ') ved at også k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Prosessen kan gjøres for hvert toppunkt, eller du kan også tegne den homotetiske polygonen som husker at de to polygonene har parallelle sider:

Endelig ser transformasjonen ut slik:

Andre eksempel

Påfør et homoteti til den angitte senterpolygonen (O), plassert ved 8,5 cm fra punkt C og hvis y-forhold k = -2.

oppløsning

Avstanden fra sentrum (O) til punkt C er OC = 8,5; med disse dataene er det mulig å bestemme avstanden til et av de homotetiske punktene (OC '), idet man også vet at k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Etter å ha tegnet segmentene av det transformerte polygonets hjørner har vi at de innledende punktene og deres homotetikk er plassert i motsatt ende med hensyn til senteret:

referanser

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Teknisk tegning: aktiviteter notatbok.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Affinitet, homologi og homotheti.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineær Algebra og Prosjektiv Geometri. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Generell matematikk, sannsynligheter og statistikk.
5. Meserve, B. E. (2014). Fundamentelle begreper for geometri. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Introduksjon til algebra. Reverte.