Multiplikativ Prinsipp Telling Teknikker og Eksempler



den multiplikative prinsipp er en teknikk som brukes til å løse telleproblemer for å finne løsningen uten at det er nødvendig å liste opp elementene. Det er også kjent som det grunnleggende prinsippet om kombinatorisk analyse; er basert på suksessiv multiplikasjon for å bestemme hvordan en hendelse kan oppstå.

Dette prinsippet fastslår at dersom en beslutning (d1) kan tas på en måte og en annen beslutning (d2) kan tas på m måter, det totale antall måter som kan avgjøres på1 og d2 vil være lik multiplikasjon av n * m. I henhold til prinsippet blir hver avgjørelse laget etter hverandre: antall måter = N1 * N2... * Nx måter.

index

  • 1 Eksempler
    • 1.1 Eksempel 1
    • 1,2 Eksempel 2
  • 2 telle teknikker
    • 2.1 Prinsipp for tillegg
    • 2.2 Prinsipp for permutasjon
    • 2.3 Kombinasjonsprinsipp
  • 3 Øvelser løst
    • 3.1 Øvelse 1
    • 3.2 Øvelse 2
  • 4 referanser

eksempler

Eksempel 1

Paula planlegger å gå på kino med vennene sine, og å velge klærne hun skal ha, skiller jeg 3 bluser og 2 skjørt. Hvor mange måter kan Paula kle seg??

oppløsning

I dette tilfellet må Paula ta to avgjørelser:

d1 = Velg mellom 3 bluser = n

d2 = Velg mellom 2 skjørt = m

På den måten har Paula n * m beslutninger om å lage eller forskjellige klær.

n * m = 3* 2 = 6 beslutninger.

Multiplikasjonsprinsippet kommer fra teknikken til trediagrammet, som er et diagram som relaterer alle mulige resultater, slik at hver kan oppstå et begrenset antall ganger.

Eksempel 2

Mario var veldig tørst, så han gikk til bakeriet for å kjøpe en juice. Luis svarer på ham og forteller ham at han har to størrelser: stort og lite; og fire smaker: eple, appelsin, sitron og drue. Hvor mange måter kan Mario velge juice?

oppløsning

I diagrammet kan det observeres at Mario har 8 forskjellige måter å velge juice på, og som i multiplikasjonsprinsippet oppnås dette resultatet ved multiplikasjon av n*m. Den eneste forskjellen er at gjennom dette diagrammet kan du vite hvordan er måtene som Mario velger juice på.

På den annen side, når antall mulige resultater er svært store, er det mer praktisk å bruke multiplikasjonsprinsippet.

Counting teknikker

Counting teknikker er metoder som brukes til å lage en direkte telling, og dermed vet antall mulige arrangementer som elementene i et gitt sett kan ha. Disse teknikkene er basert på flere prinsipper:

Prinsipp for tillegg

Dette prinsippet fastslår at hvis to hendelser m og n ikke kan forekomme samtidig, kan antallet av måter som første eller andre hendelsen oppstår være summen av m + n:

Antall skjemaer = m + n ... + x forskjellige former.

eksempel

Antonio ønsker å ta en tur, men bestemmer ikke til hvilket reisemål; På South Tourism Agency tilbyr de deg en kampanje for å reise til New York eller Las Vegas, mens East Tourism Agency anbefaler deg å reise til Frankrike, Italia eller Spania. Hvor mange forskjellige reisealternativer tilbyr Antonio?

oppløsning

Med South Tourism Agency har Antonio 2 alternativer (New York eller Las Vegas), mens med East Tourism Agency har 3 alternativer (Frankrike, Italia eller Spania). Antall forskjellige alternativer er:

Antall alternativer = m + n = 2 + 3 = 5 alternativer.

Prinsipp for permutasjon

Det handler om å bestille spesielt alle eller noen av elementene som utgjør et sett, for å lette tellingen av alle mulige arrangementer som kan gjøres med elementene.

Antall permutasjoner av n forskjellige elementer, tatt alt på en gang, er representert som:

nPn = n!

eksempel

Fire venner vil ta et bilde og vil vite hvor mange forskjellige former som kan bestilles.

oppløsning

Du vil vite settet med alle mulige måter hvor de 4 personene kan plasseres for å ta bildet. Så må du:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 forskjellige måter.

Hvis antall permutasjoner av n tilgjengelige elementer tas av deler av et sett som er dannet av r-elementer, er det representert som:

nPr = n! ÷ (n - r)!

eksempel

I et klasseromsrom er det 10 stillinger. Hvis 4 studenter deltar i klassen, på hvor mange måter kan elevene okkupere stillingene?

oppløsning

Det totale antall sett av stoler er 10, og bare 4 av disse blir brukt. Den gitte formelen brukes for å bestemme antall permutasjoner:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 måter å fylle innleggene på.

Det er tilfeller der noen av de tilgjengelige elementene i et sett gjentas (de er de samme). For å beregne antall ordninger som tar alle elementene på en gang, brukes følgende formel:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

eksempel

Hvor mange forskjellige ord med fire bokstaver kan dannes fra ordet "ulv"?

oppløsning

I dette tilfellet har vi 4 elementer (bokstaver), hvorav to er nøyaktig de samme. Ved å bruke den angitte formelen vet vi hvor mange forskjellige ord er:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 forskjellige ord.

Kombinasjonsprinsipp

Det handler om å fikse alle eller noen av elementene som danner et sett uten en bestemt rekkefølge. For eksempel, hvis du har et XYZ-array, vil det være identisk med ZXY, YZX, ZYX-arrayene, blant andre; Dette skyldes at, til tross for ikke å være i samme rekkefølge, er elementene i hvert arrangement det samme.

Når noen elementer (r) av settet (n) blir tatt, er kombinasjonsprinsippet gitt ved følgende formel:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

eksempel

I en butikk selger de 5 forskjellige typer sjokolade. Hvor mange forskjellige måter kan du velge 4 sjokolade?

oppløsning

I dette tilfellet må du velge 4 sjokolade av de 5 typene som selges i butikken. Ordren der de er valgt, spiller ingen rolle, og i tillegg kan en type sjokolade velges mer enn to ganger. Bruk av formelen, du må:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 forskjellige måter å velge 4 sjokolade på.

Når alle elementene (r) av settet (n) er tatt, er kombinasjonsprinsippet gitt ved følgende formel:

nCn = n!

Løste oppgaver

Øvelse 1

Du har et baseballlag med 14 medlemmer. På hvor mange måter kan du tildele 5 posisjoner for et spill?

oppløsning

Settet består av 14 elementer, og du vil tildele 5 spesifikke stillinger; det vil si at ordren er viktig. Permutasjonsformelen blir brukt der n tilgjengelige elementer tas av deler av et sett som dannes av r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Hvor n = 14 og r = 5. Det er substituert i formelen:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 måter å tildele de 9 spillposisjonene.

Øvelse 2

Hvis en familie på 9 medlemmer går på tur og kjøper billetter med sammenhengende seter, hvor mange forskjellige måter kan de sitte på?

oppløsning

Det er omtrent 9 elementer som vil okkupert 9 plasser etter hvert.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 forskjellige måter å sitte på.

referanser

  1. Hopkins, B. (2009). Ressurser for Undervisning Diskret Matematikk: Klasserom Prosjekter, Historiemoduler og Artikler.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskret matematikk Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L.A. (2012). Finite og diskret mat problemløser. Forsknings- og utdannelsesforeningens redaktører.
  4. Padró, F.C. (2001). Diskret matematikk Politec. av Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Matematikk for anvendt vitenskap. Reverte.