Dele:
Hva er trigonometriske grenser? (med løste øvelser)
den trigonometriske grenser de er begrensninger av funksjoner slik at disse funksjonene dannes av trigonometriske funksjoner.
Det er to definisjoner som må være kjent for å forstå hvordan beregningen av en trigonometrisk grense utføres.
Disse definisjonene er:
- Begrensning av en funksjon "f" når "x" har en tendens til å "b": den består i å beregne verdien som f (x) nærmer seg som "x" tilnærminger "b" uten å nå "b".
- trigonometriske funksjoner: trigonometriske funksjoner er sinus, cosinus og tangent, betegnet med sin (x) cos (x) og henholdsvis tan (x).
De andre trigonometriske funksjonene oppnås fra de tre nevnte funksjonene.
Funksjonsgrenser
For å klargjøre begrepet grense for en funksjon, fortsetter å vise noen eksempler med enkle funksjoner.
- Grensen for f (x) = 3 når "x" har en tendens til å "8" er lik «3», siden funksjonen alltid er konstant. Uansett hvor mye "x" er verdt, vil verdien av f (x) alltid være "3".
- Grensen for f (x) = x-2 når "x" har en tendens til å "6" er "4". Siden når "x" nærmer seg "6", nærmer "x-2" "6-2 = 4".
- Grensen for g (x) = x² når "x" har en tendens til å være "3", er lik 9, da "x" nærmer seg "3", nærmer "x²" "3² = 9".
Som angitt i de tidligere eksempler, beregne en grense er å evaluere den verdi som har en tendens til å "x" i funksjon, og resultatet vil bli at grenseverdien, men dette gjelder bare for kontinuerlige funksjoner.
Er det mer kompliserte grenser?
Svaret er ja. Eksemplene ovenfor er de enkleste eksemplene på grenser. I beregningsbøkene er hovedgrenseøvelsene de som genererer en inneterminasjon av typen 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 og (∞) ^ 0.
Disse uttrykkene kalles indeterminations fordi de er uttrykk som matematisk ikke gir mening.
I tillegg til dette, avhengig av funksjonene som er involvert i den opprinnelige grensen, kan resultatet oppnådd for å løse innbestemmelsene være forskjellige i hvert tilfelle.
Eksempler på enkle trigonometriske grenser
For å løse grenser er det alltid veldig nyttig å kjenne grafer av de involverte funksjonene. Nedenfor er grafene av sinus-, cosinus- og tangentfunksjonene.
Noen eksempler på enkle trigonometriske grenser er:
- Beregn grensen til sin (x) når "x" har en tendens til å "0".
Når du ser på grafen, kan du se at hvis "x" nærmer seg "0" (både til venstre og til høyre), er også sinusgrafen nærmer seg "0". Derfor er grensen for synd (x) når "x" har en tendens til å "0" er "0".
- Beregn grensen til cos (x) når "x" har en tendens til å "0".
Når man ser cosinusgrafen, kan man se at når "x" er nær "0", er cosinusgrafen nær "1". Dette innebærer at grensen til cos (x) når "x" har en tendens til å "0" er lik «1».
En grense kan eksistere (være et tall), som i de foregående eksemplene, men det kan også skje at det ikke eksisterer som vist i følgende eksempel.
- Grensen som (x), hvor "x" har en tendens til å "Π / 2" til venstre er lik "+ ∞", som vist i diagrammet. På den annen side er grensen for tan (x) når "x" har en tendens til å "-Π / 2" til høyre er lik "-∞".
Identifikasjoner av trigonometriske grenser
To svært nyttige identiteter ved beregning av trigonometriske grenser er:
- Grensen til "sin (x) / x" når "x" har en tendens til å "0" er lik «1».
- Grensen for "(1-cos (x)) / x" når "x" har en tendens til å "0" er lik "0".
Disse identitetene brukes svært ofte når du har noen form for ubestemmelighet.
Løste oppgaver
Løs de følgende grensene ved hjelp av identitetene beskrevet ovenfor.
- Beregn grensen til "f (x) = sin (3x) / x" når "x" har en tendens til å "0".
Hvis funksjonen "f" evalueres i "0", vil en bestemmelse av type 0/0 bli oppnådd. Derfor må vi forsøke å løse denne ubestemmelsen ved å bruke identitetene som er beskrevet.
Den eneste forskjellen mellom denne grensen og identiteten er tallet 3 som vises i sinusfunksjonen. Identitet for å bruke til å skrive om "f (x)" -funksjonen følger "3 * (sin (3x) / 3x)". Nå er begge argumentene til sinus og nevner likeverdige.
Så når "x" har en tendens til å "0", bruker identiteten resultater i "3 * 1 = 3". Derfor er grensen for f (x) når "x" har en tendens til å "0" er lik "3".
- Beregn grensen til "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" når "x" har en tendens til å "0".
Når "x = 0" er erstattet i g (x), oppnås en bestemmelse av typen ∞-∞. For å løse det subtraheres fraksjonene, noe som gir resultatet "(1-cos (x)) / x".
Nå, når du bruker den andre trigonometriske identiteten, har vi grensen til g (x) når "x" har en tendens til å "0" er lik 0.
- Beregn grensen til "h (x) = 4tan (5x) / 5x" når "x" har en tendens til å "0".
Igjen, hvis du vurderer h (x) til "0", får du en bestemmelse av type 0/0.
Omskrivning brunfarge (5x) som synd (5x) / cos (5x) viser at h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).
Ved å bruke den grense på 4 / cos (x), hvor "x" har en tendens til "0" er lik "4/1 = 4" og det første trigonometriske identitet oppnås at grensen for h (x), hvor "x" har en tendens en "0" tilsvarer "1 * 4 = 4".
observasjon
Trigonometriske grenser er ikke alltid lette å løse. I denne artikkelen ble bare grunnleggende eksempler vist.
referanser
- Fleming, W., og Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematikk. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., og Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematikk: en problemløsende tilnærming (2, Illustrert utgave). Michigan: Prentice Hall.
- Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
- Larson, R. (2010). precalculus (8 utg.). Cengage Learning.
- Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Flat Analytisk Geometri. Merida - Venezuela: Redaktør Venezolana C. A.
- Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
- Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beregningen (Niende utgave). Prentice Hall.
- Saenz, J. (2005). Differensialkalkulator med tidlige transcendentale funksjoner for vitenskap og teknologi (Andre utgave red.). hypotenusen.
- Scott, C.A. (2009). Kartesian Plane Geometry, Del: Analytical Conics (1907) (utskrift ed). Lynkilde.
- Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.