Hva er relative kusiner? Egenskaper og eksempler



Det kalles relative fettere (coprimos eller fettere i forhold til hverandre) til noen par heltall som ikke har noen divisor til felles, bortsett fra 1.

Med andre ord, to hele tall er relative kusiner hvis de i sin nedbrytning i primære tall har ingen felles faktor.

For eksempel, hvis 4 og 25 er valgt, er de primære faktor dekomponeringer av hver henholdsvis 2 ² og 5 ². Som det er verdsatt, har disse ikke noen felles faktor, derfor er 4 og 25 relative kusiner.

På den annen side, hvis 6 og 24 er valgt, når de utfører sine dekomponeringer i primære faktorer, oppnår vi at 6 = 2 * 3 og 24 = 2³ * 3.

Som du kan se, har disse to to uttrykkene minst én faktor til felles, derfor er de ikke relative primater.

Relative fettere

En ting å være forsiktig med er å si at et par heltall er relative primater er at dette ikke innebærer at noen av dem er et primærtall.

Videre kan den ovennevnte definisjon kan oppsummeres som følger: to heltall "a" og "b" er relativt prime hvis, og bare hvis den største felles divisor av disse er den ene, dvs. gcd ( a, b) = 1.

To umiddelbare konklusjoner av denne definisjonen er at:

-Hvis "a" (eller "b") er et primaltall, så mcd (a, b) = 1.

-Hvis "a" og "b" er primtal, så mcd (a, b) = 1.

Det vil si at hvis minst ett av de valgte tallene er et primaltall, så er direkte paret de relative primene.

Andre funksjoner

Andre resultater som brukes til å bestemme om to tall er relative primater er:

-Hvis to heltall er på rad, er disse relative kusiner.

-To naturlige tall "a" og "b" er relative primater hvis og bare hvis tallene "(2 ^ a) -1" og "(2 ^ b) -1" er relative primater.

-to heltall "a" og "b" er relativt prime hvis, og bare hvis, plotting punktet (a, b) i det kartesiske planet, og konstruere linje gjennom origo (0,0) og (a , b), inneholder dette ikke noen punkter med hele koordinater.

eksempler

1.- Tenk heltalene 5 og 12. Hovedfaktor dekomponeringen av begge tallene er henholdsvis 5 og 2 ² * 3. Som konklusjon er gcd (5,12) = 1, derfor 5 og 12 relative primater.

2.- La tallene 4 og 6. Deretter -4 = -22 og 6 = 2 * 3, slik at LCD-skjermen (-4.6) = 2 ≠ 1. I konklusjonen -4 og 6 er ikke slektninger.

Hvis vi fortsetter å plotte den rette linje som passerer gjennom den ordnede par (4,6) og (0,0), og bestemme ligningen for den linje, kan det bekreftes at denne går gjennom punktet (-2,3).

Igjen er det konkludert med at -4 og 6 ikke er relative kusiner.

3.- Tallene 7 og 44 er relative primater og kan raskt avsluttes takket være ovenstående, siden 7 er et hovednummer.

4.- Tenk tallene 345 og 346. Å være to påfølgende tall er det verifisert at mcd (345,346) = 1, derfor er 345 og 346 relative primater.

5.- Tatt i betraktning tallene 147 og 74, da disse er forholdsvis primtall, fordi 147 = 3 * 7² og 74 = 2 * 37 derfor gcd (147,74) = 1.

6.- Tallene 4 og 9 er relative primater. For å demonstrere dette kan den andre karakteriseringen nevnt ovenfor brukes. I virkeligheten er 2 ^ 4-1 = 16-1 = 15 og 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Tall som oppnås er 15 og 511. De dekomponeringer Primtallfaktorisering av disse tallene er 3 * 5 7 * 73 henholdsvis, slik at gcd (15,511) = 1.

Som du ser, er det en lengre og mer arbeidskrevende oppgave å bruke den andre karakteriseringen enn å verifisere den direkte.

7.- Vurder tallene -22 og -27. Deretter kan disse tallene omskrives som følger: -22 = -2 * 11 og -27 = -3³. Derfor er gcd (-22, -27) = 1, så -22 og -27 relativ primere.

referanser

  1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduksjon til tallteori. EUNED.
  2. Bourdon, P. L. (1843). Aritmetiske elementer. Bokhandel av Lords and Children Sons of Calleja.
  3. Castañeda, S. (2016). Grunnkurs i talteori. University of the North.
  4. Guevara, M. H. (s.f.). Settet av hele tallene. EUNED.
  5. Høyere institutt for lærerutdanning (Spania), J. L. (2004). Tall, former og volumer i barnets miljø. Utdanningsdepartementet.
  6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Praktisk matematikk: aritmetikk, algebra, geometri, trigonometri og lysregulering (utskrift ed). Reverte.
  7. Rock, N. M. (2006). Algebra jeg er lett! Så lett. Team Rock Press.
  8. Smith, S. A. (2000). algebra. Pearson Education.
  9. Szecsei, D. (2006). Grunnleggende matematikk og pre-algebra (illustrert utgave). Karriere Press.
  10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematikk kurs. Editorial Progreso.
  11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Grunnprinsipper for aritmetikk. ELIZCOM S.A.S.