Tekniske tellerteknikker, applikasjoner og eksempler



den telle teknikker er en serie sannsynlighetsmetoder for å telle det mulige antall ordninger innenfor et sett eller flere sett med objekter. Disse brukes når man gjør kontoene manuelt komplisert på grunn av det store antall objekter og / eller variabler.

Løsningen på dette problemet er for eksempel veldig enkelt: forestill deg at sjefen din ber deg om å telle de siste produktene som er kommet i den siste timen. I dette tilfellet kan du gå og telle produktene en etter en.

Imidlertid forestill deg at problemet er dette: sjefen din ber deg om å telle hvor mange grupper av 5 produkter av samme type som kan dannes med de som har kommet den siste timen. I dette tilfellet blir beregningen komplisert. De såkalte teleteknikker brukes til denne typen situasjon.  

Disse teknikkene er flere, men de viktigste er delt inn i to grunnleggende prinsipper, som er multiplikativet og additivet; permutasjoner og kombinasjoner.

index

  • 1 multiplikasjonsprinsipp
    • 1.1 applikasjoner
    • 1.2 Eksempel
  • 2 additivprinsipp 
    • 2.1 applikasjoner
    • 2.2 Eksempel
  • 3 Permutasjoner
    • 3.1 applikasjoner
    • 3.2 Eksempel
  • 4 kombinasjoner
    • 4.1 applikasjoner
    • 4.2 Eksempel
  • 5 referanser 

Multiplikasjonsprinsipp

søknader

Multiplikasjonsprinsippet, sammen med additivet, er grunnleggende for å forstå driften av telleteknikker. Ved multiplikativet består det av følgende:

Forestill deg en aktivitet som involverer et bestemt antall trinn (summen er merket som "r"), der det første trinnet kan gjøres av N1-skjemaer, det andre trinnet i N2 og trinn "r" av Nr-skjemaer. I dette tilfellet kan aktiviteten utføres fra antall skjemaer som følger av denne operasjonen: N1 x N2 x ... .x Nr skjemaer

Det er derfor dette prinsippet kalles multiplikativ, og innebærer at hver og en av trinnene som trengs for å utføre aktiviteten, må gjøres en etter en. 

eksempel

La oss forestille deg en person som ønsker å bygge en skole. For å gjøre dette, bør du vurdere at bunnen av bygningen kan bygges på to forskjellige måter, sement eller betong. Når det gjelder veggene, kan de være laget av adobe, sement eller murstein.

Når det gjelder taket, kan det bygges av sement eller galvanisert ark. Endelig kan det endelige maleriet bare gjøres på en måte. Spørsmålet som oppstår er følgende: Hvor mange måter skal skolen bygge??

Først vurderer vi antall trinn, som ville være grunnlaget, veggene, taket og maleriet. Totalt 4 trinn, så r = 4.

Følgende ville være å liste N:

N1 = måter å bygge basen på = 2

N2 = måter å bygge veggene på = 3

N3 = måter å gjøre taket på = 2

N4 = måter å lage maling på = 1

Derfor vil antall mulige former beregnes med formelen beskrevet ovenfor:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 måter å fullføre skolen på.

Tilsetningsprinsipp

søknader

Dette prinsippet er veldig enkelt, og er det i tilfelle av eksisterende flere alternativer for å utføre samme aktivitet, består mulige måter av summen av de forskjellige mulige måtene for å gjøre alle alternativene.

Med andre ord, hvis vi ønsker å utføre en aktivitet med tre alternativer, hvor det første alternativet kan gjøres i M-former, den andre i N-formene og den siste i W-formene, kan aktiviteten utføres av: M + N + ... + W-former.

eksempel

Tenk deg denne gangen en person som ønsker å kjøpe en tennisracket. For dette har den tre merker å velge mellom: Wilson, Babolat eller Head.

Når han går til butikken, ser han at Wilson-racketen kan kjøpes med håndtaket i to forskjellige størrelser, L2 eller L3, i fire forskjellige modeller, og kan bli spenet eller uten strenger.

Babolat-racketen har derimot tre håndtak (L1, L2 og L3), det er to forskjellige modeller, og det kan også bli spenet eller uten strenging.

Hodestøtten, derimot, er kun med ett håndtak, L2, i to forskjellige modeller og bare uten å stryke. Spørsmålet er: Hvor mange måter må denne personen kjøpe sin racket??

M = Antall måter å velge en Wilson-racket på

N = Antall måter å velge en Babolat-racket på

W = Antall måter å velge et Head Racket på

Vi gjør multiplikatorprinsippet:

M = 2 x 4 x 2 = 16 former

N = 3 x 2 x 2 = 12 former

W = 1 x 2 x 1 = 2 former

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 måter å velge en racket på.

Å vite når du skal bruke multiplikasjonsprinsippet og tilsetningsstoffet, må du bare se på om aktiviteten har en rekke tiltak som skal utføres, og hvis det finnes flere alternativer, vil additivet.

permutasjoner

søknader

For å forstå hva en permutasjon er, er det viktig å forklare hva en kombinasjon er for å skille dem og vite når de skal brukes.

En kombinasjon vil være et arrangement av elementer der vi ikke er interessert i den posisjonen hver av dem okkuperer.

En permutasjon ville derimot være et arrangement av elementer der vi er interessert i den posisjonen hver av dem okkuperer.

La oss gi et eksempel for å bedre forstå forskjellen.

eksempel

Tenk deg en klasse med 35 studenter, og med følgende situasjoner:

  1. Læreren vil at tre av elevene skal hjelpe ham med å holde klassen ren eller levere materialer til andre studenter når han trenger det.
  2. Læreren ønsker å utnevne klassedeltagere (en president, en assisterende og en finansør).

Løsningen ville være følgende:

  1. Tenk deg at ved å stemme Juan, Maria og Lucía er valgt for å rense klassen eller levere materialene. Åpenbart kunne andre grupper på tre personer ha blitt dannet blant de 35 mulige elevene.

Vi må stille oss selv følgende: er det viktig rekkefølgen eller stillingen som hver elev opptar når de velges??

Hvis vi tenker på det, ser vi at det egentlig ikke er viktig, siden gruppen skal ta vare på begge oppgavene likt. I dette tilfellet er det en kombinasjon, siden vi ikke er interessert i elementene.

  1. Forestill deg nå at John er valgt som president, Maria som assistent og Lucia som økonomisk.

I dette tilfellet ville ordren saken? Svaret er ja, fordi hvis vi endrer elementene, endres resultatet. Det vil si, hvis vi istedenfor å sette Juan som president, setter vi ham som assistent, og Maria som president, vil det endelige resultatet endres. I dette tilfellet er det en permutasjon.

Når forskjellen er forstått, vil vi få formler av permutasjoner og kombinasjoner. Men først må vi definere begrepet "n!" (Faktorisk), siden det blir brukt i de forskjellige formlene.

n! = til produktet fra 1 til n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Bruk den med ekte tall:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3 628 800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Formuleringen av permutasjonene ville være følgende:

nPr = n! / (n-r)!

Med det kan vi finne ut arrangementene hvor rekkefølgen er viktig, og hvor n-elementene er forskjellige.

kombinasjoner

søknader

Som vi tidligere har kommentert, er kombinasjonene arrangementene hvor vi ikke bryr oss om elementernes posisjon.

Dens formel er følgende:

nCr = n! / (n-r)! r!

eksempel

Hvis det er 14 studenter som vil frivillig til å rense klasserommet, hvor mange rengjøringsgrupper kan hver gruppe dannes av 5 personer??

Løsningen vil derfor være følgende:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupper

referanser

  1. Jeffrey, R.C., Sannsynlighet og dommens kunst, Cambridge University Press. (1992).
  2. William Feller, "En introduksjon til sannsynlighetsteori og dens applikasjoner", (Vol 1), 3. ed, (1968), wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). "Logiske grunnlag og måling av subjektiv sannsynlighet". Psykologisk lov.
  4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduksjon til matematisk statistikk (6. utgave). Upper Saddle River: Pearson.
  5. Franklin, J. (2001) Vitenskapen om formodning: Bevis og sannsynlighet før Pascal,Johns Hopkins University Press.