Hva er en vektor og hva er dens egenskaper?

en vektor det er et kvantum eller fenomen som har to uavhengige egenskaper: størrelse og retning. Begrepet betegner også den matematiske eller geometriske representasjonen av en slik mengde.

Eksempler på vektorer i naturen er hastighet, kraft, elektromagnetiske felt og vekt. En mengde eller et fenomen som bare viser størrelsen, uten bestemt retning, kalles skalar.

Eksempler på skalarer inkluderer hastighet, masse, elektrisk motstand og harddisk lagringskapasitet.

Vektorer kan representeres grafisk i to eller tre dimensjoner. Størrelsen er vist som lengden på et segment. Retningen er vist ved orienteringen av segmentet og med en pil i den ene enden.

Illustrasjonen ovenfor viser tre vektorer i todimensjonale rektangulære koordinater (det kartesiske flyet) og deres ekvivalenter i polarkoordinater.

Vektorer i fysikk

I fysikk, når du har en vektor, må du ta hensyn til to mengder: dens retning og dens størrelse. Mengder som kun har en størrelse kalles skalarer. Hvis en retning er gitt til en skalær mengde, opprettes en vektor.

Visuelt ser du vektorer tegnet som piler, noe som er perfekt fordi en pil har en klar retning og en klar størrelse (pilens lengde).

I følgende figur representerer pilen en vektor som starter ved foten av pilen (også kalt halen) og ender i hodet.

I fysikk er et dristig brev vanligvis brukt til å representere en vektor, selv om det også kan representeres som et brev med en pil på den..

Pilen betyr at det ikke bare er en skalarverdi, som vil bli representert av A, men også noe med retning.

Forskjeller mellom vektor og skalar

Verdier som ikke er vektorer er skalar. For eksempel er en slik mengde 500 epler en skalar, den har ingen adresse, den er bare en størrelse. Tiden er en skalar også, den har ingen retning.

Imidlertid er hastighet en vektor siden den ikke bare angir en hastighet (rute) av ruten, den indikerer også retningen (og retningen) av ruten.

For eksempel kan handlingslinjen for hastighetsvektoren

Vær 30 ° fra det horisontale. Derfor vet vi i hvilken retning objektet beveger seg.

Dette angir imidlertid fortsatt ikke retningen for turen, om den beveger seg vekk fra eller kommer nærmere oss. Derfor spesifiserer vi også retningen der vektoren virker gjennom et pilespiss.

Kraft, akselerasjon og avstand er også vektorer. For eksempel, sier at en bil flyttet 10 meter, indikerer ikke i hvilken retning den beveget seg. For å spesifisere bevegelsen fullt ut, er det også nødvendig å spesifisere retning og bevegelsesretning.

Styrke er også en vektor fordi hvis du trekker et objekt mot deg selv, kommer det nær deg, og hvis du skyver objektet vekk fra deg. Så kraft har en retning og en følelse, og derfor er det en vektor.

eksempel

Som eksempler på informasjonen som en vektor gir, har vi følgende:

Søk etter en gullpose

Anta at en lærer forteller deg: "En pose med gull er utenfor klasserommet for å finne den, flytte 20 meter." Denne utsagnet vil sikkert interessere deg, men det er ikke nok informasjon som er inkludert i erklæringen for å finne gullposen.

Forflytningen som kreves for å finne gullposen, er ikke fullstendig beskrevet. På den annen side, antar læreren din forteller deg: "En pose med gull ligger utenfor klasserommet, navigere å finne midten av klasserommet døren 20 meter i en retning 30 ° vest for nord".

Denne uttalelsen gir nå en fullstendig beskrivelse av forskyvningsvektoren, som viser størrelsen (20 m) og retningen (30 ° vest for nord) i forhold til en referanseposisjon eller start (midten av døren av klassen ).

Vektormengder er ikke fullt beskrevet, med mindre både størrelsen og retningen er angitt.

Bil forskyvning

Når vi beveger oss i en bil, bruker vi forskjellige vektorer. Disse vektorene vises hver gang vi bytter fart.

Når vi akselererer til å overta en annen bil, legger vi til retnings- og hastighetsvariabler som utgjør en ny vektor.

På den annen side, når vi vil redusere hastigheten, trekker vi vektorer som svarer til retardasjonen.

I en annen forstand, når vi reverserer uten å endre hastigheten, endrer vi følelsen til vektoren som kommer fra bevegelsen av bilen.

Åpne en dør

Når vi åpner en dør, bruker vi flere vektorer. Først må vi skrive ut en kraft i en bestemt retning for å dreie døren på døren, da må vi skyve døren i en gitt retning, skrive ut en kraft.

Disse kraft- og retningsverdiene tilsvarer vektorer som brukes til å åpne en dør. Prosessen med å lukke en dør, vil generere en ny vektor, hvor verdien sin vil være negativ i forhold til den som først ble gitt for å åpne den.

Flytt en boks

Når vi ønsker å presse en boks som er veldig tung, må vi utøve en kraft på sin sideflate. Denne kraften må utøves i en retning, slik at boksen kan bevege seg.

I dette tilfellet vil vektoren skyldes kombinasjonen av kraft og retning som brukes for å flytte boksen.

Hvis kraften ikke brukes til å skyve boksen, men å løfte den vertikalt, vises en ny vektor.

Denne vektoren vil bestå av den vertikale akse som boksen er hevet opp og kraften påføres for å løfte den.

Flytt et sjakkflis

I likhet med foregående eksempel kan en sjakk flyttes på overflaten av bordet - i en gitt retning, og påføring av en kraft spesielt for å endre sin posisjon på brettet, og dannet et vektor.

Det kan også løftes av brettet, og genererer en ny vektor vertikalt.

Trykk på en knapp

En botó vil bli presset i bare én retning, gitt av samme system som inneholder knappen.

For å trykke på den knappen, er det nødvendig å bruke en kraft med fingeren. Fra utøvelsen av denne bevegelsen vil en vektor resultere.

Spill biljard

Handlingen med å treffe en biljardkule med tre-kue resulterer umiddelbart i en vektor, siden den har effekt av to størrelser: styrke og retning.

En kraft vil bli brukt på biljardballen, for å flytte den i en bestemt retning. Biljardkulen på bordet vil ha en tidligere etablert sans, som avhenger av spillerens avgjørelse.

Trekker en leketøybil

Når et barn tar sin leketøybil og trekker den på et tau, eller bare manipulerer det med hendene, vil han generere en rekke vektorer.

Hver gang barnet endrer hastigheten eller retningen som bilen beveger seg, vil den opprette en ny vektor.

Variabelen av vektoren, i dette tilfellet, ville bestå av den energien barnet gjelder for bilen og retningen der han ønsker å flytte den..

Representasjon av vektorer

Vektormengder representeres ofte av skalerte vektordiagrammer.

Vektordiagrammer representerer en vektor ved å bruke en pil trukket til skala i en bestemt retning. Et passende vektordiagram bør ha flere egenskaper:

• En skala er tydelig oppført.
• En vektorpile trekkes (med pilespiss) i en bestemt retning. Vektorpilen har et hode og en hale.
• Vektens størrelse og retning er tydelig merket.

Adresse på en vektor

Vektorene kan styres øst, vest, sør og nord. Men noen vektorer er rettet mot nordøst (45 ° vinkel). Derfor er det et klart behov for å identifisere retningen til en vektor som ikke er avhengig av nord, sør, øst eller vest.

Det finnes en rekke konvensjoner for å beskrive retningen til noen vektor, men bare to av dem vil bli forklart nedenfor.

1-retningen av en vektor uttrykkes ofte som en rotasjonsvinkel av vektoren rundt sin "hale" i øst, vest, nord eller sør.

For eksempel, kan det sies at en vektor som har en retning på 40 ° nord-vest (hvilket betyr at en vektor som peker mot vest er blitt dreiet 40 ° i forhold til nord), eller som har en retning på 65 ° grader øst for sør (som betyr at en vektor som peker sør har rotert 65 ° østover).

2-retningen av en vektor uttrykkes ofte som en vinkel i moturs retning av vektoren. Ved bruk av denne konvensjonen er en vektor med en 30 ° retning en vektor som har blitt rotert 30 ° mot urviseren i forhold til øst.

En vektor med en 160 ° retning er en vektor som har blitt rotert 160 ° mot urviseren i forhold til øst. En vektor med en 270 ° retning er en vektor som har blitt rotert 270 ° mot urviseren i forhold til øst.

Magnitude av en vektor

Størrelsen på en vektor i et skalert vektordiagram er representert ved pilens lengde. Pilen er tegnet med en nøyaktig lengde i henhold til en valgt skala.

For eksempel, hvis man ønsker å trekke en vektor som har en størrelse på 20 meter, kan velges som en skala på 1 cm = 5 meter, og tegner en pil med en lengde på 4 cm.

Ved hjelp av samme skala (1 cm = 5 meter) vil en forskyvningsvektor på 15 meter bli representert med en 3 cm lang vektor-pil.

På samme måte representeres en forskyvningsvektor på 25 meter med en pil på 5 cm i lengde. Og til slutt er en forskyvningsvektor på 18 meter representert av en 3,6 cm lang pil.

Andre egenskaper av vektorer

likestilling: det sies at to vektorer er like om de har samme størrelsesorden og retning. Tilsvarende vil de være lik hvis deres koordinater er like.

opposisjon: to vektorer er motsatt hvis de har samme størrelsesorden, men motsatt retning.

Paralelos: to vektorer er parallelle hvis de har samme retning, men ikke nødvendigvis den samme størrelsen, eller antiparallelle hvis de har motsatt retning, men ikke nødvendigvis like stor.

Vector enhet: Enhetsvektor er en hvilken som helst vektor med en lengde på en.

Vector null: null vektoren er vektoren med null lengde. I motsetning til hvilken som helst annen vektor har den en vilkårlig eller ubestemt retning, og kan ikke normaliseres

referanser

1. Jong IC, Rogers BG. Ingeniørmekanikk: statikk (1991). Saunders College Publishing.
2. Ito K. Encyclopedic Dictionary of Mathematics (1993). MIT Press.
3. Ivanov AB. Encyclopedia of Mathematics (2001). Springer.
4. Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: OnLine Dynamics.
5. Lang S. Introduksjon til lineær algebra (1986). Springer.
6. Niku S. Engineering prinsipper i hverdagen for ikke-ingeniører (2016). Morgan & Claypool.
7. Pedoe D. Geometri: Et omfattende kurs (1988). Dover.