Beregning av tilnærminger ved bruk av differensialet

En tilnærming i matematikk er et tall som ikke er den eksakte verdien av noe, men er så nært at den anses som nyttig som den eksakte verdien.

Når tilnærminger gjøres i matematikk, er det fordi det er vanskelig (eller noen ganger umulig) å vite nøyaktig verdien av det som er ønsket.

Hovedverktøyet når man arbeider med tilnærminger er differansen av en funksjon.

Den differensielle funksjon f, betegnet med Af (x), er ganske enkelt den deriverte av funksjonen multiplisert med endringen i den uavhengige variabelen, dvs. Af (x) = f '(x) * Dx.

Noen ganger brukes df og dx i stedet for Δf og Δx.

Tilnærminger som bruker differensialet

Formelen som brukes for å gjøre en tilnærming gjennom differensialet, oppstår nettopp fra definisjonen av derivatet av en funksjon som en grense.

Denne formelen er gitt av:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Her forstås det at Δx = x-x0, derfor x = x0 + Δx. Ved hjelp av dette kan formelen omskrives som

f (x0 + Δx) ≈f (x0) + f '(x0) * Δx.

Det skal bemerkes at "x0" ikke er en vilkårlig verdi, men er en verdi slik at f (x0) er lett kjent; I tillegg er "f (x)" bare verdien vi vil tilnærme.

Er det bedre tilnærminger?

Svaret er ja. Den forrige er den enkleste av tilnærmingene kalt "lineær tilnærming".

For nærmer seg bedre kvalitet (feilen laget er mindre) polynomer brukes for mer avledet kalt "Taylor polynomer", og det finnes også andre numeriske metoder, slik som Newton-Raphson-metoden inkludert.

strategi

Strategien for å følge er:

- Velg en passende funksjon f for å utføre tilnærmingen og verdien "x" slik at f (x) er verdien du vil approximate.

- Velg en verdi "x0", nær "x", slik at f (x0) er lett å beregne.

- Beregn Δx = x-x0.

- Beregn derivatet av funksjonen og f '(x0).

- Erstatt dataene i formelen.

Løste tilnærmelsesøvelser

I det som fortsetter er det en serie øvelser hvor tilnærminger blir gjort ved hjelp av differensialet.

Første øvelse

Ca. √3.

oppløsning

Etter strategien må en passende funksjon velges. I dette tilfellet kan det ses at funksjonen å velge må være f (x) = √x og den omtrentlige verdien er f (3) = √3.

Nå må du velge en verdi "x0" nær "3", slik at f (x0) er lett å beregne. Hvis "x0 = 2" er valgt det må "x0" er nær "3", men f (x0) = f (2) = √2 er ikke lett å beregne.

Verdien av "x0" som er praktisk er "4" fordi "4" er nær "3" og også f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Hvis "x = 3" og "x0 = 4", så er Δx = 3-4 = -1. Nå fortsetter vi å beregne derivatet av f. Det er f '(x) = 1/2 * √x, slik at f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Bytte alle verdiene i formelen du får:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Hvis en kalkulator brukes, oppnås det at √3≈1.73205 ... Dette viser at det forrige resultatet er en god tilnærming til den reelle verdien.

Andre øvelse

Ca. √10.

oppløsning

Som tidligere blir det valgt som en funksjon f (x) = √x og i dette tilfellet x = 10.

Verdien av x0 som må velges i denne muligheten er "x0 = 9". Vi har da det Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 og f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Når du vurderer i formelen får du det

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666 ...

Ved hjelp av en kalkulator får du det √10 ≈ 3.1622776 ... Her kan du også se at en god tilnærming ble oppnådd før.

Tredje øvelsen

Omtrentlig ³√10, hvor ³√ betegner kubisk rot.

oppløsning

Klart funksjonen som skal brukes i denne øvelsen er f (x) = ³√x og verdien av "x" må være "10".

En verdi nær til "10", slik at dens kubikkroten er kjent er "x0 = 8". Da må du Dx = 10-8 = 2 f (x0) = f (8) = 2. Vi har også f (x) = 1/3 * ³√x², og dermed f '(8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Ved å erstatte dataene i formelen oppnås det at:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Kalkulatoren sier at ³√10 ≈ 2.15443469 ... Derfor er tilnærmingen funnet god.

Fjerde øvelsen

Omtrent ln (1.3), hvor "ln" betegner den naturlige logaritmen funksjonen.

oppløsning

Først er funksjonen f (x) = ln (x) valgt og verdien av "x" er 1,3. Nå, når vi vet litt om logaritmen, kan vi vite at ln (1) = 0, og også "1" er nær "1.3". Derfor er "x0 = 1" valgt og så Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

På den annen side f '(x) = 1 / x, slik at f' (1) = 1. Når du vurderer i den oppgitte formelen, må du:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Når du bruker en kalkulator, må du ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Så tilnærmingen er god.

referanser

1. Fleming, W., og Varberg, D. E. (1989). Precalculus Matematikk. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., og Varberg, D. E. (1989). Precalculus matematikk: en problemløsende tilnærming (2, Illustrert utgave). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). precalculus (8 utg.). Cengage Learning.
5. Leal, J. M., & Viloria, N. G. (2005). Flat Analytisk Geometri. Merida - Venezuela: Redaktør Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beregningen (Niende utgave). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differensialkalkulator med tidlige transcendentale funksjoner for vitenskap og teknologi (Andre utgave red.). hypotenusen.
9. Scott, C.A. (2009). Kartesian Plane Geometry, Del: Analytical Conics (1907) (utskrift ed). Lynkilde.
10. Sullivan, M. (1997). precalculus. Pearson Education.