Algebraiske derivater (med eksempler)

den algebraiske derivater de består i studien av derivatet i det spesielle tilfellet av algebraiske funksjoner. Opprinnelsen til begrepet derivat går tilbake til antikkens Hellas. Utviklingen av denne oppfatningen ble motivert av behovet for å løse to viktige problemer, en i fysikk og den andre i matematikk.

I fysikk, løser den deriverte problemet med å bestemme den øyeblikkelige hastigheten av et bevegelig objekt. I matematikk kan du finne tangentlinjen til en kurve på et gitt punkt.

Selv om det er mange flere problemer som løses ved hjelp av derivatet, så vel som generaliseringer, resultater som kom etter innføringen av konseptet.

Pionjere av differensialkalkulasjon er Newton og Leibniz. Før vi gir den formelle definisjonen, vil vi utvikle ideen bakfra, fra det matematiske og fysiske synspunktet.

index

• 1 Derivatet som helling av tangentlinjen til en kurve
• 2 Derivatet som øyeblikkelig hastighet på et bevegelige objekt
  • 2.1 Algebraisk funksjon
• 3 Avledningsregler
  • 3.1 Avledet fra en konstant
  • 3.2 Derivat av en kraft
  • 3.3 Avledet fra tillegg og subtraksjon
  • 3.4 Derivat av et produkt
  • 3.5 Utledet fra en kvotient
  • 3.6 Kjedenes regel
• 4 referanser

Derivatet som helling av tangentlinjen til en kurve

Anta at grafen til en funksjon y = f (x) er en kontinuerlig graf (uten topper eller vertikaler eller separasjoner), og la A = (a, f (a)) være et fast punkt på det. Vi ønsker å finne likningen av tangentlinjen til grafen av funksjonen f ved punkt A.

Ta et annet punkt P = (x, f (x)) i grafen, nær punkt A, og tegne sekantlinjen som passerer gjennom A og P. En secant-linje er en linje som kutter kurven på en kurve i en eller flere poeng.

For å få tak i linjen som vi vil, trenger vi bare å beregne skråningen fordi vi allerede har et punkt på linjen: punkt A.

Hvis vi beveger punktet P langs grafen og tar det nærmere og nærmere punkt A, vil den nevnte sekantlinjen nærme oss tangentlinjen vi vil finne. Tar grensen når "P pleier å A", begge linjene vil falle sammen, derfor er det også skråninger.

Hellingen av sekantlinjen er gitt av

Å si at P nærmer seg A svarer til å si at "x" nærmer seg "a". Dermed blir helningen til tangenten til grafen til f i punktet A rett, lik:

Ovennevnte uttrykk er betegnet med f '(a), og defineres som derivatet av en funksjon f ved punktet "a". Vi ser da det analytisk, er avledet av en funksjon i et punkt en grense, men geometrisk er det helling av linjen som er tangent til grafen av funksjonen i punktet.

Nå ser vi dette begrepet fra fysikkens synspunkt. Vi kommer til samme uttrykk for den forrige grensen, selv om vi på en annen måte oppnår enstemmighet i definisjonen.

Derivatet som øyeblikkelig hastighet av et bevegelige objekt

La oss se et kort eksempel på hva øyeblikkelig hastighet betyr. Når det er sagt, for eksempel at en bil for å nå en destinasjon gjorde det med en hastighet på 100 km per time, noe som innebærer at den reiste på en time 100 km.

Dette betyr ikke nødvendigvis at bilen hele tiden var 100 km unna, bilens hastighetsmåler kunne i noen øyeblikk markere mindre eller mer. Hvis han hadde behov for å stoppe ved et trafikklys, var hastigheten i det øyeblikket 0 km. Men etter en time var ruten 100 km.

Dette er det som kalles gjennomsnittsfart og er gitt ved forholdet mellom avstanden mellom medgått tid, som vi nettopp har sett. Den øyeblikkelige hastighet, i sin tur, er det som gjør speedometer nål av en bil i en tid (tid) bestemmes.

La oss se på dette nå mer generelt. Anta at en gjenstand som beveges langs en linje, og at denne forskyvning er representert ved ligningen s = f (t), hvor den variable t målte tid, og den variable s forskyvning, tatt i betraktning deres start i øyeblikket t = 0, på hvilket tidspunkt er det også null, det vil si f (0) = 0.

Denne funksjonen f (t) er kjent som en stillingsfunksjon.

Et uttrykk er søkt etter objektets øyeblikkelige hastighet ved et fast øyeblikk "a". Ved denne hastigheten vil vi betegne det ved V (a).

La ikke være noe øyeblikk nær øyeblikket "a". I tidsintervallet mellom "a" og "t" er posisjonendringen objektet gitt av f (t) -f (a).

Gjennomsnittshastigheten i dette tidsintervallet er:

Hvilket er en tilnærming av den øyeblikkelige hastigheten V (a). Denne tilnærmingen blir bedre ettersom t kommer nærmere "a". derfor,

Vær oppmerksom på at dette uttrykket er lik det som er oppnådd i det forrige tilfellet, men fra et annet perspektiv. Dette er det som er kjent som derivatet av en funksjon f ved et punkt "a" og er betegnet med f '(a), som angitt ovenfor.

Merk at å gjøre endringen h = x-a, vi har det når "x" har en tendens til å "a", "h" har en tendens til 0, og forrige grense transformeres (ekvivalent) til:

Begge uttrykkene er ekvivalente, men noen ganger er det bedre å bruke en i stedet for den andre, avhengig av saken.

Derivatet av en funksjon f defineres deretter mer generelt på hvilket som helst punkt "x" tilhørende dens domene som

Den vanligste notasjonen for å representere derivatet av en funksjon y = f (x) er den vi nettopp har sett (f 'o og'). Imidlertid er en annen mye brukt notasjon Leibniz-notasjonen som er representert som et av følgende uttrykk:

I lys av at derivatet i utgangspunktet er en grense, kan det eller ikke eksistere, fordi grensene ikke alltid eksisterer. Hvis det eksisterer, sies det at funksjonen i spørsmålet er differensierbar på det oppgitte punktet.

Algebraisk funksjon

En algebraisk funksjon er en kombinasjon av polynomene ved hjelp av summer, subtraksjoner, produkter, kvoter, krefter og radikaler.

Et polynom er et uttrykk for skjemaet

P_n= a_nxⁿ+ til_n-1x^n-1+ til_n-2-x^n-2-+... + a₂x²+ til₁x + a₀

Hvor n er et naturlig tall og alle a_jeg, med i = 0,1, ..., n, er rasjonelle tall og a_n≠ 0 I dette tilfellet er det sagt at graden av dette polynomet er n.

Følgende er eksempler på algebraiske funksjoner:

Her er eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske funksjoner ikke inkludert. Regler for avledning som vi vil se nedenfor gjelder for funksjoner generelt, men vi vil begrense oss selv og anvende dem når det gjelder algebraiske funksjoner.

Bypassregler

Utledet fra en konstant

Det fastslår at derivatet av en konstant er null. Det vil si hvis f (x) = c, så f '(x) = 0. For eksempel er derivatet av konstantfunksjonen 2 lik 0.

Utledet fra en makt

Hvis f (x) = xⁿ, så f '(x) = nx^n-1. For eksempel, derivatet av x³ Det er 3x². Som følge av dette oppnår vi at derivatet av identitetsfunksjonen f (x) = x er f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Et annet eksempel er følgende: vær f (x) = 1 / x², så f (x) = x^-2 og f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Denne egenskapen er også gyldig røtter, fordi røttene er rasjonelle krefter, og du kan også bruke ovennevnte også i det tilfellet. For eksempel er derivatet av en kvadratrot gitt av

Avledet fra sum og subtraksjon

F og g er f.

Analogt har vi det (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Med andre ord er derivatet av summen (subtraksjon) summen (eller subtraksjonen) av derivatene.

eksempel

Hvis h (x) = x²+x-1, da

h '(x) = (x²) + (X) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Utledet fra et produkt

Hvis f og g er differensierbare funksjoner i x, så er produktet fg også differensierbart i x og det er oppfylt det

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Som en konsekvens har vi det hvis c er en konstant og f er en differensibel funksjon i x, så er cf også differensibel i x og (cf) '(x) = cf' (X).

eksempel

Hvis f (x) = 3x (x²+1), da

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Utledet fra en kvotient

Hvis f og g er differensierbare i x og g (x) ≠ 0, er f / g også differensierbar i x, og det er sant at

eksempel: hvis h (x) = x³/ (x²-5x), da

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Kjederegel

Denne regelen tillater avledning av sammensetningen av funksjoner. States: y = f (u) er deriverbar i u, (x) er u = g differensierbar i x, da den sammensatte funksjonen f (g (x)) er deriverbar i x, og den holder den [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Det vil si at derivatet av en sammensatt funksjon er produktet av derivatet av den eksterne funksjonen (eksternt derivat) av derivatet av den interne funksjonen (internt derivat).

eksempel

Hvis f (x) = (x⁴-2x)³, deretter

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Det er også resultater å beregne derivatet av invers av en funksjon, samt generalisering til høyere ordningsderivater. Programmene er omfattende. Blant dem fremhever de verktøyene deres i problemer med optimalisering og maksimal og minimal funksjon.

referanser

1. Alarcon, S. Gonzalez, M., & Quintana, H. (2008). Differensiell beregning. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Beregning 4000. Editorial Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematikk før beregning. Universitetet i Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Introduksjon til beregning. Terskelutgaver.
5. Kilder, A. (2016). Grunnleggende matematikk. En introduksjon til beregning. Lulu.com.
6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E., & Varberg, D.E. (2007). beregningen. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Differensiell beregning (Andre utgave). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B., & Weir, M. D. (2006). Beregning: flere variabler. Pearson Education.