Etterfølgende derivater (med løste øvelser)



den suksessive derivater er derivatene av en funksjon etter det andre derivatet. Prosessen for å beregne de suksessive derivatene er som følger: Vi har en funksjon f, som vi kan utlede og dermed få derivatfunksjonen f '. Til dette derivatet av f kan vi utlede det igjen, skaffe (f ')'.

Denne nye funksjonen kalles andre derivat; alle derivatene beregnet fra det andre er etterfølgende; Disse, også kalt høyere rekkefølge, har flotte applikasjoner, for eksempel å gi informasjon om grafen av grafen til en funksjon, den andre avledede testen for relative ekstremer og bestemmelsen av uendelig serie.

index

  • 1 Definisjon
    • 1.1 Eksempel 1
    • 1,2 Eksempel 2
  • 2 Hastighet og akselerasjon
    • 2.1 Eksempel 1
    • 2.2 Eksempel 2
  • 3 applikasjoner
    • 3.1 Mplifisert derivasjon
    • 3.2 Eksempel
    • 3.3 Relative slutter
    • 3.4 Eksempel
    • 3,5 Taylor-serien
    • 3.6 Eksempel
  • 4 referanser

definisjon

Ved bruk av Leibniz-notasjonen har vi at derivatet av en funksjon "og" med hensyn til "x" er dy / dx. For å uttrykke det andre derivatet av "og" ved hjelp av Leibniz notasjonen skriver vi som følger:

Generelt kan vi uttrykke de suksessive derivatene som følger med Leibniz-notasjonen, hvor n representerer rekkefølgen av derivatet.

Andre merknader som brukes er følgende:

Noen eksempler der vi kan se de forskjellige notasjonene er:

Eksempel 1

Hent alle derivatene av funksjonen f definert av:

Ved bruk av vanlige avledeteknikker har vi at derivatet av f er:

Ved å gjenta prosessen kan vi få det andre derivatet, det tredje derivatet og så videre.

Vær oppmerksom på at fjerde derivatet er null og derivatet av null er null, så vi må:

Eksempel 2

Beregn det fjerde derivatet av følgende funksjon:

Avlede den gitte funksjonen vi har som følge:

Hastighet og akselerasjon

En av motivasjonene som førte til oppdagelsen av derivatet var søket etter definisjonen av øyeblikkelig hastighet. Den formelle definisjonen er følgende:

La y = f (t) være en funksjon hvis graf beskriver en partikkels bane i et øyeblikk t, så er hastigheten i et øyeblikk t gitt av:

Når vi har oppnådd hastigheten til en partikkel, kan vi beregne momentan akselerasjon, som er definert som følger:

Den øyeblikkelige akselerasjon av en partikkel hvis vei er gitt av y = f (t) er:

Eksempel 1

En partikkel beveger seg på en linje i henhold til stillingsfunksjonen:

Hvor "y" måles i meter og "t" på sekunder.

- På hvilket øyeblikk er hastigheten din 0?

- På hvilket øyeblikk er akselerasjonen din 0?

Når du utfører stillingsfunksjonen "og" har vi at dens hastighet og akselerasjon er gitt henholdsvis av:

For å svare på det første spørsmålet, er det nok å bestemme når funksjonen v blir null; dette er:

Vi fortsetter med følgende spørsmål analogt:

Eksempel 2

En partikkel beveger seg på en linje i henhold til følgende bevegelsesligning:

Bestem "t, y" og "v" når a = 0.

Å vite at fart og akselerasjon er gitt av

Vi fortsetter å utlede og skaffe:

Ved å gjøre a = 0, har vi:

Fra hvilken vi kan utlede at verdien av t for a å være lik null er t = 1.

Deretter må vi evaluere stillingsfunksjonen og hastighetsfunksjonen ved t = 1, og vi må:

søknader

Mplified derivasjon

Etterfølgende derivater kan også oppnås ved implisitt avledning.

eksempel

Gitt følgende ellipse, finn "og":

Derivering implisitt med hensyn til x, har vi:

Deretter gir vi oss ved å gjenfinde implisitt med hensyn til x:

Til slutt har vi:

Relative endene

En annen bruk som vi kan gi til derivater av andre ordre, er i beregningen av relative ender av en funksjon.

Kriteriet for det første derivatet for lokale ekstremer forteller oss at hvis vi har en funksjon f kontinuerlig i et område (a, b), og det eksisterer en c som tilhører det intervallet slik at f'is annulleres i c (det vil si at c er et kritisk punkt), kan ett av disse tre tilfellene oppstå:

- Hvis f '(x)> 0 for x som tilhører (a, c) og f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Hvis f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 for x som tilhører (c, b), så er f (c) et lokalt minimum.

- Hvis f '(x) har samme tegn (a, c) og i (c, b), betyr det at f (c) ikke er et lokalt sluttpunkt.

Ved å bruke kriteriet for det andre derivatet kan vi vite om et kritisk tall for en funksjon er et maksimum eller et lokalt minimum uten å måtte se hva som er tegn på funksjonen i de nevnte intervaller.

Kriteriet for den andre avledningen forteller oss at hvis f '(c) = 0 og at f "(x) er kontinuerlig i (a, b), skjer det at hvis f" (c)> 0 så er f (c) en lokal minimum og hvis f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Hvis f "(c) = 0, kan vi ikke konkludere noe.

eksempel

Gitt funksjonen f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, finn de relative maksima og minima for f som bruker kriteriet for det andre derivatet.

Først beregner vi f '(x) og f "(x), og vi har:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f "(x) = 12x2 + 8x - 8

Nå, f '(x) = 0 hvis, og bare hvis 4x (x + 2) (x - 1) = 0, og dette skjer når x = 0, x = 1 eller x = - 2.

For å avgjøre om de kritiske tallene som er oppnådd, er relative ekstremer, er det nok å evaluere i f "og dermed observere dets tegn.

f "(0) = - 8, så f (0) er et lokalt maksimum.

f "(1) = 12, så f (1) er et lokalt minimum.

f "(- 2) = 24, så f (- 2) er et lokalt minimum.

Taylor-serien

La f være en funksjon som er definert som følger:

Denne funksjonen har en konvergensradius R> 0 og har derivater av alle ordrer i (-R, R). De suksessive derivatene av f gir oss:

Ta x = 0, vi kan få verdiene til cn basert på derivatene som følger:

Hvis vi tar n = 0 som funksjonen f (det vil si f ^ 0 = f), kan vi omskrive funksjonen som følger:

Nå vurder funksjonen som en rekke krefter i x = a:

Hvis vi utfører en analog analyse til den forrige, må vi skrive funksjonen f som:

Disse seriene er kjent som Taylor-serien f i a. Når a = 0 har vi det spesielle tilfellet som kalles Maclaurin-serien. Denne typen serier har stor matematisk betydning, spesielt i numerisk analyse, siden takket være disse kan vi definere funksjoner i datamaskiner somx , synd (x) og cos (x).

eksempel

Få Maclaurin-serien til ex.

Merk at hvis f (x) = ex, så f(N)(x) = ex og f(N)(0) = 1, det er derfor hans Maclaurin-serie er:

referanser

  1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5ed beregning. Mc Graw Hill.
  2. Leithold, L. (1992). BEREGNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
  3. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beregningen. Mexico: Pearson Education.
  4. Saenz, J. (2005). Differensiell beregning. hypotenusen.
  5. Saenz, J. (s.f.). Omfattende beregning. hypotenusen.