Additive dekomponering applikasjoner, partisjoner, grafikk



den additiv dekomponering av et positivt hele tall er å uttrykke det som en sum av to eller flere positive heltall. Dermed har vi at tallet 5 kan uttrykkes som 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 eller 5 = 1 + 2 + 2. Hver av disse måtene å skrive nummer 5 er hva vi vil kalle additiv dekomponering.

Hvis vi tar hensyn, kan vi se at uttrykkene 5 = 2 + 3 og 5 = 3 + 2 representerer samme sammensetning; begge har de samme tallene. Men for enkelhets skyld er hver av tilleggene vanligvis skrevet etter kriteriet minst til høyest.

index

  • 1 additiv dekomponering
  • 2 kanonisk additiv dekomponering
  • 3 applikasjoner
    • 3.1 Eksempelteorem
  • 4 partisjoner
    • 4.1 Definisjon
  • 5 grafikk
  • 6 Referanser

Additiv dekomponering

Som et annet eksempel kan vi ta nummer 27, som vi kan uttrykke det som:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Tilleggs dekomponeringen er et veldig nyttig verktøy som gjør at vi kan styrke vår kunnskap om nummereringssystemene.

Additiv kanonisk nedbrytning

Når vi har tall på mer enn to figurer, er en bestemt måte å dekomponere dem i multiplene på 10, 100, 1000, 10 000, etc. som gjør det oppe. Denne måten å skrive et hvilket som helst tall kalles kanonisk additiv dekomponering. For eksempel kan tallet 1456 brytes ned som følger:

1456 = 1000 + 400 + 50 + 6

Hvis vi har nummeret 20 846 295, vil dens kanoniske additiv dekomponering være:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Takket være denne dekomponeringen, kan vi se at verdien av et gitt tall er gitt av stillingen den inntar. Ta tallene 24 og 42 som et eksempel:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Her kan vi observere at i 24 har 2 en verdi på 20 enheter og 4 en verdi på 4 enheter; på den annen side, i 42 har 4 en verdi på 40 enheter og 2 av to enheter. Således, selv om begge tallene bruker de samme sifrene, er deres verdier helt forskjellige av stillingen de okkuperer.

søknader

En av applikasjonene som vi kan gi til additiv dekomponering er i visse typer demonstrasjoner, hvor det er veldig nyttig å se et positivt hele tall som summen av andre.

Eksempel teorem

Ta som et eksempel følgende setning med sine respektive demonstrasjoner.

- La Z være et firesifret heltall, så Z er delbart med 5 hvis nummeret som tilsvarer enhetene er null eller fem.

showet

Husk hva som er delbarhet. Hvis vi har "a" og "b" heltall, sier vi at "a" deler "b" hvis det er et heltall "c" slik at b = a * c.

En av egenskapene til delbarhet forteller oss at hvis "a" og "b" er delelig med "c", så er subtraksjon "a-b" også delelig med "c".

La Z være et firesifret heltall; derfor kan vi skrive Z som Z = ABCD.

Ved hjelp av den kanoniske additiv dekomponering har vi det:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Det er klart at A * 1000 + B * 100 + C * 10 er delelig med 5. For dette har vi at Z er delelig med 5 hvis Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) er delelig med 5.

Men Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D og D er et tall av en enkelt figur, så den eneste måten at den er delbar med 5 er at den er 0 eller 5.

Derfor er Z delt med 5 hvis D = 0 eller D = 5.

Merk at hvis Z har n sifre, er beviset nøyaktig det samme, det endres bare som vi nå skulle skrive Z = A1En2... An og målet ville være å bevise at An det er null eller fem.

partisjoner

Vi sier at en partisjon av et positivt heltal er en måte som vi kan skrive et tall som en sum av positive heltall.

Forskjellen mellom en additiv dekomponering og en partisjon er at mens i det første det er meningen at det i det minste kan dekomponeres i to eller flere tillegg, i partisjonen du ikke har denne begrensningen.

Så har vi følgende:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Ovennevnte er partisjoner på 5.

Det er at vi har at all additiv dekomponering er en partisjon, men ikke alle partisjoner er nødvendigvis en additiv dekomponering.

I tallteori garanterer grunnleggende teorem for aritmetikk at hvert hele tall kan skrives unikt som et produkt av kusiner.

Når du studerer partisjoner, er målet å avgjøre hvor mange måter du kan skrive et positivt heltall som summen av andre heltall. Derfor definerer vi partisjonen som vist nedenfor.

definisjon

Partisjonsfunksjonen p (n) er definert som antall måter hvor et positivt heltall n kan skrives som summen av positive heltall.

Når vi går tilbake til eksemplet på 5, må vi:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

På en slik måte, p (5) = 7.

grafisk

Både partisjonene og additiv dekomposisjonene av et tall n kan representeres geometrisk. Anta at vi har en additiv dekomponering av n. I denne nedbrytningen kan tilleggene ordnes slik at summen av medlemmer blir bestilt fra laveste til høyeste. Så er det verdt:

n = a1 + til2 + til3 +... + ar med

til1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ ar.

Vi kan grave denne dekomponeringen på følgende måte: i første rad markerer vi1-poeng, så i det neste merker vi2-poeng, og så videre til du kommer tilr.

Ta tallet 23 og dets følgende nedbrytning som et eksempel:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Vi bestiller denne nedbrytingen, og vi har:

23 = 1 + 3 + 3 + 4 + 5 + 7

Den tilhørende grafen ville være:

På samme måte, hvis vi leser nevnte graf vertikalt i stedet for horisontalt, kan vi få en nedbrytning som kan være forskjellig fra den forrige. I eksemplet på 23 fremheves følgende:

Så vi må til 23 vi kan også skrive det som:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

referanser

  1. G.H. Hardy og E. M. Wright. En introduksjon til tallets teori. Oxford. Clarendon Press.
  2. Navarro C. Didaktisk encyklopedi 6. Editorial Santillana, S.A.
  3. Navarro C.Link med matematikk 6. Editorial Santillana, S.A.
  4. Niven & Zuckerman. Introduksjon til teorien om tall. Limusa.
  5. VV.AA Evaluering Matematisk områdekriterium: En modell for grunnopplæring. Wolters Kluwer Utdanning.
  6. Didaktisk encyklopedi 6.