Fordeling av diskrete sannsynlighetskarakteristikker og øvelser



den Diskrete sannsynlighetsfordeler er en funksjon som tilordner hvert element av X (S) = x1, x2, ..., xi, ..., der X er en gitt diskret tilfeldig variabel og S er dens prøveplass, sannsynligheten for at hendelsen vil oppstå. Denne funksjonen f av X (S) definert som f (xi) = P (X = xi) kalles iblant sannsynlighetsmassefunksjonen.

Denne massen av sannsynligheter er vanligvis representert som et bord. Siden X er en diskret tilfeldig variabel, har X (S) et begrenset antall hendelser eller en tellbar uendelighet. Blant de vanligste diskrete sannsynlighetsfordelingene har vi uniformfordeling, binomialfordeling og Poisson-distribusjon.

index

  • 1 Egenskaper
  • 2 typer
    • 2.1 Ensartet fordeling over n poeng
    • 2.2 Binomialfordeling
    • 2.3 Poissonfordeling
    • 2.4 Hypergeometrisk fordeling
  • 3 Øvelser løst
    • 3.1 Første øvelse
    • 3.2 Andre øvelse
    • 3.3 Tredje øvelse
    • 3.4 Tredje øvelse
  • 4 referanser

funksjoner

Sannsynlighetsfordelingsfunksjonen må oppfylle følgende betingelser:

Også, hvis X bare tar et bestemt antall verdier (for eksempel x1, x2, ..., xn), så p (xi) = 0 hvis jeg> ny blir den uendelige serie av tilstand b en endelig serie.

Denne funksjonen oppfyller også følgende egenskaper:

La B være en hendelse knyttet til tilfeldig variabel X. Dette betyr at B er inneholdt i X (S). Anta spesielt at B = xi1, xi2, .... derfor:

Med andre ord: sannsynligheten for en hendelse B er lik summen av sannsynlighetene for de enkelte resultatene knyttet til B.

Herfra kan vi konkludere med at hvis a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

typen

Ensartet fordeling over n poeng

Det sies at en tilfeldig variabel X følger en fordeling karakterisert ved å være ensartet i n poeng hvis hver verdi er tildelt samme sannsynlighet. Sannsynlighetsmassefunksjonen er:

Anta at vi har et eksperiment som har to mulige utfall, det kan være å kaste en mynt hvis mulige utfall er ansikt eller frimerke, eller valget av et helt tall hvis resultat kan være et jevnt tall eller et merkelig tall; Denne typen eksperiment er kjent som Bernoullis tester.

Generelt kalles de to mulige utfallene suksess og fiasko, hvor p er sannsynligheten for suksess og 1-p for feil. Vi kan bestemme sannsynligheten for x suksesser i n Bernoulli tester som er uavhengige av hverandre med følgende fordeling.

Binomialfordeling

Det er den funksjonen som representerer sannsynligheten for å oppnå x suksesser i n uavhengige Bernoulli tester, hvor sannsynligheten for suksess er p. Sannsynlighetsmassefunksjonen er:

Følgende graf representerer funksjonsmassen av sannsynligheten for forskjellige verdier av parametrene til binomialfordelingen.

Følgende fordeling skylder navnet til den franske matematikeren Simeon Poisson (1781-1840), som fikk det som grensen for binomialfordelingen..

Poisson distribusjon

Det sies at en tilfeldig variabel X har en Poissonfordeling av parameter A når den kan ta positive heltallverdier 0,1,2,3, ... med følgende sannsynlighet:

I dette uttrykket er λ det gjennomsnittlige tallet som svarer til hendelsene i hendelsen for hver tidsenhet, og x er antall ganger hendelsen oppstår.

Sannsynlighetsmassefunksjonen er:

Neste, en graf som representerer sannsynlighetsmassefunksjonen for forskjellige verdier av parametrene i Poisson-distribusjonen.

Merk at så lenge antall suksesser er lave og antall n av tester utført i binomialfordeling er høy, kan vi alltid tilnærme disse fordelingene, da Poisson-distribusjonen er grensen for binomialfordelingen..

Hovedforskjellen mellom disse to fordelingene er at mens binomialet avhenger av to parametere - nemlig n og p -, er Poisson bare avhengig av λ, som noen ganger kalles intensiteten av fordelingen.

Så langt har vi bare snakket om sannsynlighetsfordelinger for tilfeller der de forskjellige eksperimentene er uavhengige av hverandre; det vil si når resultatet av en ikke påvirkes av noe annet resultat.

Når det gjelder å ha eksperimenter som ikke er uavhengige, er den hypergeometriske fordelingen veldig nyttig.

Hypergeometrisk fordeling

La N være det totale antall objekter av et begrenset sett, hvorav vi kan identifisere k av disse på en eller annen måte, danner en delmengde K, hvis komplement dannes av de gjenværende N-k-elementene.

Hvis vi tilfeldig velger n-objekter, vil tilfeldig variabel X som representerer antall objekter som tilhører K i det valget, ha en hypergeometrisk fordeling av parametrene N, n og k. Sannsynlighetsmassefunksjonen er:

Følgende graf representerer funksjonsmassen av sannsynlighet for forskjellige verdier av parametrene til den hypergeometriske fordelingen.

Løste oppgaver

Første øvelse

Anta at sannsynligheten for at et radiobånd (satt i en bestemt type utstyr) virker i mer enn 500 timer, er 0,2. Hvis 20 rør er testet, hva er sannsynligheten for at nøyaktig k av disse vil fungere mer enn 500 timer, k = 0, 1,2, ..., 20?

oppløsning

Hvis X er antall rør som fungerer mer enn 500 timer, antar vi at X har en binomialfordeling. deretter

Og så:

For k≥11 er sannsynlighetene mindre enn 0,001

Så vi kan se hvordan sannsynligheten for at disse kene jobber mer enn 500 timer, går opp til den når sin maksimale verdi (med k = 4) og begynner deretter å redusere.

Andre øvelse

En mynt kastes 6 ganger. Når resultatet er dyrt, vil vi si at det er en suksess. Hva er sannsynligheten for at to ansikter kommer ut nøyaktig?

oppløsning

For denne saken har vi det n = 6 og begge sannsynlighetene for suksess og fiasko er p = q = 1/2

Derfor er sannsynligheten for at to ansikter blir gitt (dvs. k = 2) av

Tredje øvelsen

Hva er sannsynligheten for å finne minst fire ansikter?

oppløsning

For denne saken har vi det k = 4, 5 eller 6

Tredje øvelsen

La oss anta at 2% av artiklene produsert i en fabrikk er defekte. Finn sannsynligheten P at det er tre defekte elementer i en prøve på 100 elementer.

oppløsning

For dette tilfellet kunne vi søke binomialfordelingen for n = 100 og p = 0,02, og oppnå som resultat:

Men siden p er liten bruker vi Poisson-tilnærmingen med λ = np = 2. så,

referanser

  1. Kai Lai Chung Elementær Probability Theory med stokastiske prosesser. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematikk og dets applikasjoner. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Sannsynlighet og statistiske applikasjoner. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskret matematikk Løste problemer. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori og Problemer Problemer. McGraw-Hill.