Syntetisk Divisjon Metode og Løste Øvelser

den syntetisk divisjon Det er en enkel måte å dele opp et polynom P (x) et hvilket som helst av form D (x) = x - c. Det er et meget nyttig verktøy fordi, i tillegg tillater oss å dele polynomer, gjør det også mulig å evaluere en P (x) polynom i et hvilket som helst tall c, som i sin tur nøyaktig forteller oss om nummeret er null eller ikke polynomet.

Takket være divisjonalgoritmen vet vi at hvis vi har to polynomier P (x) og d (x) ikke konstant, det er polynomier q (x) og r (x) unikt slik at det er sant at P (x) = q (x) d (x) + r (x), hvor r (x) er null eller er mindre enn q (x). Disse polynomene er kjent som kvotient og rest eller hvile henholdsvis.

I de tilfeller hvor polynomet d (x) er på formen c x-, gir syntetisk divisjon en kort vei for å finne som er q (x) og r (x).

index

• 1 Syntetisk delingsmetode
• 2 Oppgaver løst
  • 2.1 Eksempel 1
  • 2.2 Eksempel 2
  • 2.3 Eksempel 3
  • 2.4 Eksempel 4
• 3 referanser

Syntetisk delingsmetode

La P (x) = a_nxⁿ+til_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ polynomet vi vil dele og d (x) = x-c divisoren. For å splitte ved den syntetiske delingsmetoden fortsetter vi som følger:

1- Vi skriver koeffisientene til P (x) i første rad. Hvis noen kraft i X ikke vises, setter vi null som koeffisient.

2- I andre rad, til venstre for a_n plasser c, og trekk delelinjer som vist på følgende figur:

3- Vi senker ledende koeffisient til tredje rad.

I dette uttrykket b_n-1= a_n

4- Vi multipliserer c med ledende koeffisient b_n-1 og resultatet er skrevet i den andre raden, men en kolonne til høyre.

5- Vi legger til kolonnen der vi skrev det forrige resultatet og resultatet vi legger det under den summen; det er i samme kolonne tredje rad.

Ved å legge til, har vi som et resultat_n-1+c * b_n-1, som for enkelhets skyld vil vi ringe b_n-2-

6- Vi multipliserer c ved forrige resultat og skriver resultatet til høyre i andre rad.

7- Vi gjentar trinn 5 og 6 til vi når koeffisienten a₀.

8- Skriv svaret; det vil si kvotienten og resten. Da vi utfører delingen av et polynom av grad n mellom et polynom av grad 1, har vi det seriøse kvotient av grad n-1.

Koeffisientene til kvotientpolynomet vil være tallene i den tredje rad unntatt det siste, som vil være restpolynomet eller resten av divisjonen.

Løste oppgaver

Eksempel 1

Utfør følgende deling etter den syntetiske delingsmetoden:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

oppløsning

Først skriver vi utbyttekoeffisientene som følger:

Deretter skriver vi c på venstre side, i andre rad, sammen med delelinjene. I dette eksemplet c = -1.

Vi senker ledende koeffisient (i dette tilfellet b_n-1 = 1) og multipliser den med -1:

Vi skriver resultatet ditt til høyre i andre rad, som vist nedenfor:

Vi legger til tallene i den andre kolonnen:

Vi multipliserer 2 med -1 og skriver resultatet i tredje kolonne, andre rad:

Vi legger til i den tredje kolonnen:

Vi fortsetter analogt til vi kommer til siste kolonne:

Dermed har vi at det siste nummeret som er oppnådd, er resten av divisjonen, og de gjenværende tallene er koeffisientene til kvotientpolynomet. Dette er skrevet som følger:

Hvis vi vil bekrefte at resultatet er riktig, er det nok å verifisere at følgende ligning er oppfylt:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Så vi kan bekrefte at resultatet er riktig.

Eksempel 2

Utfør neste deling av polynomene ved hjelp av den syntetiske delingsmetoden

(7x³-x + 2): (x + 2)

oppløsning

I dette tilfellet har vi begrepet x² det vises ikke, så vi vil skrive 0 som koeffisient. Så vil polynomet være som 7x³+0x²-x + 2.

Vi skriver deres koeffisienter på rad, dette er:

Vi skriver verdien av C = -2 til venstre i andre rad og tegner divisjonslinjene.

Vi senker ledende koeffisient b_n-1 = 7 og vi multipliserer den med -2, skriver resultatet i den andre raden til høyre.

Vi legger til og fortsetter som tidligere forklart, til vi når siste sikt:

I dette tilfellet er resten r (x) = - 52 og kvotienten er q (x) = 7x²-14x + 27.

Eksempel 3

En annen måte å bruke syntetisk deling på er følgende: Anta at vi har en polynom P (x) av grad n og vi vil vite hva som er verdifull når vi vurderer det i x = c.

Ved divisjonens algoritme har vi at vi kan skrive polynom P (x) på følgende måte:

I dette uttrykket er q (x) og r (x) kvoten og resten, henholdsvis. Nå, hvis d (x) = x- c, når vi vurderer i c i polynomet, finner vi følgende:

For dette trenger vi bare å finne r (x), og dette kan vi gjøre takket være den syntetiske divisjonen.

For eksempel har vi polynomet P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12X⁴-3x³+19x²-37x-37, og vi vil vite hva som er verdien når vi vurderer det i x = 5. For dette utfører vi divisjonen mellom P (x) og d (x) = x -5 ved den syntetiske delingsmetoden:

Når operasjonene er ferdige, vet vi at vi kan skrive P (x) på følgende måte:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Derfor, når vi vurderer det, må vi:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Som vi kan se, er det mulig å bruke syntetisk divisjon for å finne verdien av et polynom når det vurderes i c i stedet for å bare erstatte c med x. 

Hvis vi prøvde å evaluere P (5) på tradisjonell måte, ville vi måtte utføre noen beregninger som har en tendens til å bli kjedelig.

Eksempel 4

Divisjonen algoritme for polynomer er også sant for polynomer med komplekse koeffisienter, og derfor må den syntetiske oppdelingsmetode fungerer også for disse polynomer. Neste ser vi et eksempel.

Vi vil bruke den syntetiske delingsmetoden til å vise at z = 1+ 2i er et null i polynomet P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); det vil si resten av divisjonen P (x) mellom d (x) = x - z er lik null.

Vi fortsetter som før: i første rad skriver vi koeffisientene til P (x), så i det andre skriver vi z og tegner delelinjene.

Vi gjorde divisjonen som før; dette er:

Vi kan se at resten er null; derfor konkluderer vi at z = 1 + 2i er et null på P (x).

referanser

1. Baldor Aurelio. algebra. Patria Editorial Group.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Graf, numerisk, algebraisk 7. Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra og Trigonometri med Analytisk Geometri. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. precalculus 4. utg. Pearson Education.
5. Red. Armando O. Algebra 1 6. utg. The Athenaeum.