Delvis fraksjoner og eksempler



den partielle fraksjoner de er fraksjoner dannet av polynomer, hvor nevneren kan være et lineært eller kvadratisk polynom og i tillegg kan heves til noe kraft. Noen ganger, når vi har rasjonelle funksjoner, er det veldig nyttig å omskrive denne funksjonen som en sum av partielle fraksjoner eller enkle fraksjoner.

Dette er slik fordi vi på denne måten kan manipulere disse funksjonene på en bedre måte, spesielt i de tilfeller der det er nødvendig å integrere denne applikasjonen. En rasjonell funksjon er ganske enkelt kvoten mellom to polynomene, og kan være riktig eller feil.

Hvis graden av polynomeren til telleren er mindre enn nevneren, kalles den sin egen rasjonale funksjon; ellers er det kjent som en feilaktig rasjonell funksjon.

index

  • 1 Definisjon
  • 2 sager
    • 2.1 Sak 1
    • 2.2 Sak 2
    • 2.3 Sak 3
    • 2.4 Sak 4
  • 3 applikasjoner
    • 3.1 Omfattende beregning
    • 3.2 Massespørsmålsloven
    • 3.3 Differensielle ligninger: logistisk likning
  • 4 referanser

definisjon

Når vi har en utilbørlig rasjonal funksjon, kan vi dele polynomet telleren ved nevner polynomet og derved omskrive fraksjonen p (x) / q (x) etter delingen algoritme som t (x) + s (x) / q (x), hvor t (x) er et polynom og s (x) / q (x) er en rasjonell funksjon av sin egen.

En delfraksjon er en hvilken som helst ordentlig funksjon av polynomene, hvis nevner er av formen (ax + b)n o (øks2+ bx + c)n, hvis polynom-øksen2 + bx + c har ikke ekte røtter og n er et naturlig tall.

For å skrive en rasjonal funksjon i delvis fraksjoner, er det første som må gjøres for å faktor nevneren q (x) som et produkt av faktorer, lineære og / eller kvadratisk. Når dette er gjort, bestemmes partielle fraksjoner, som avhenger av arten av de nevnte faktorer.

tilfeller

Vi vurderer flere tilfeller separat.

Sak 1

Faktorene til q (x) er alle lineære og ingen gjentas. Det er:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Der er ingen lineær faktor identisk med en annen. Når denne saken oppstår, skriver vi:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Hvor A1,En2,..., As er konstantene du vil finne.

eksempel

Vi ønsker å dekomponere den rasjonelle funksjonen i enkle fraksjoner:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Vi fortsetter å faktorisere nevnen, det vil si:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

deretter:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x + 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C /

Hvis du bruker minst vanlig flertall, kan du få det:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Vi ønsker å oppnå verdiene til konstantene A, B og C, som kan bli funnet ved å erstatte røttene som avbryter hvert av vilkårene. Ved å erstatte 0 for x har vi:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Bytte - 1 for x har vi:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1).

- 2 = - B

B = 2.

Bytte - 2 for x har vi:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1).

-3 = 2C

C = -3/2.

På denne måten oppnås verdiene A = -1/2, B = 2 og C = -3/2..

Det er en annen metode for å oppnå verdiene av A, B og C. Hvis på den høyre side av likningen x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C (x + 1) x vi kombinerer vilkår, vi har:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Da dette er en likestilling av polynomier, har vi at koeffisientene til venstre side må være lik de på høyre side. Dette resulterer i følgende system av ligninger:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Ved løsning av dette system av ligninger får vi resultatene A = -1/2, B = 2 og C = -3/2.

Til slutt, erstatte de oppnådde verdiene vi må:

(X - 1) / (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Sak 2

Faktorene til q (x) er alle lineære og noen gjentas. Anta at (akse + b) er en faktor som gjentas "s" ganger; da til denne faktoren korresponderer summen av "s" partielle fraksjoner.

Ens/ (økse + b)s + Ens-1/ (økse + b)s-1 +... + A1/ (økse + b).

Hvor As,Ens-1,..., A1 de er konstantene som skal bestemmes. Med følgende eksempel vil vi vise hvordan du bestemmer disse konstantene.

eksempel

Dekomponere i partielle fraksjoner:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Vi skriver den rasjonelle funksjonen som en sum av partielle fraksjoner som følger:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

deretter:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Ved å erstatte 2 for x må vi:

7 = 4C, det vil si C = 7/4.

Ved å erstatte 0 for x har vi:

- 1 = -8A eller A = 1/8.

Ved å erstatte disse verdiene i forrige ligning og utvikling, må vi:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2DX2 + tidligere2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Ved å samsvare koeffisienter får vi følgende system av ligninger:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Løsning av systemet har vi:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

På grunn av dette må vi:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Sak 3

Faktorene til q (x) er kvadratiske lineære, uten at en kvadratisk faktor gjentas. For dette tilfellet er den kvadratiske faktoren (øks2 + bx + c) tilsvarer delfraksjonen (Ax + B) / (øks)2 + bx + c), hvor konstantene A og B er de du vil bestemme.

Følgende eksempel viser hvordan du går videre i dette tilfellet

eksempel

Dekomponere i enkle fraksjoner a (x + 1) / (x3 - 1).

Først fortsetter vi å faktor nevner, noe som gir oss som et resultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Vi kan se det (x2 + x + 1) er et irreducible kvadratisk polynom; det betyr at den ikke har reelle røtter. Dens dekomponering i partielle fraksjoner vil være som følger:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Herfra får vi følgende ligning:

x + 1 = (a + b) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Ved å bruke likestilling av polynomier, får vi følgende system:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Fra dette systemet har vi A = 2/3, B = - 2/3 og C = 1/3. Ved å bytte må vi:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Sak 4

Endelig er tilfelle 4 en hvor faktorene av q (x) er lineære og kvadratiske, hvor noen av de lineære kvadratiske faktorene gjentas.

I dette tilfellet ja (øks2 + bx + c) er en kvadratisk faktor som gjentas "s" ganger, så delfraksjonen som tilsvarer faktor (øks)2 + bx + c) vil være:

(A1x + b) / (øks2 + bx + c) + ... + (As-1x + bs-1) / (øks)2 + bx + c)s-1 + (Asx + bs) / (øks)2 + bx + c)s

Hvor As, Ens-1,..., A og B.s, Bs-1,..., B er konstantene du vil bestemme.

eksempel

Vi vil bryte ned følgende rasjonelle funksjon i partielle fraksjoner:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Som x2 - 4x + 5 er en irreducible kvadratisk faktor, vi har at dens dekomponering i partielle fraksjoner er gitt av:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Forenkling og utvikling, har vi:

x - 2 = a (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (a + b) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Fra ovenstående har vi følgende system av ligninger:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Ved løsning av systemet må vi:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 og E = - 3/5.

Når du erstatter de oppnådde verdiene, har vi:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x-8) / 25 (x2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

søknader

Omfattende beregning

De partielle fraksjonene brukes hovedsakelig til studier av integrert kalkulator. Nedenfor ser vi noen eksempler på hvordan man lager integraler ved hjelp av partielle fraksjoner.

Eksempel 1

Vi ønsker å beregne integralet av:

Vi kan se at nevneren q (x) = (t + 2)2(t + 1) består av lineære faktorer hvor en av disse gjentar; for dette er vi i tilfelle 2.

Vi må:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Vi skriver om ligningen og vi har:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Hvis t = - 1, må vi:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Hvis t = - 2, gir den oss:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Så, hvis t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Ved å erstatte verdiene for A og C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Fra ovenstående har vi det B = - 1.

Vi skriver om integralet som:

Vi fortsetter å løse det ved substitusjonsmetoden:

Dette resulterer i:

Eksempel 2

Løs følgende integral:

I dette tilfellet kan vi faktor til q (x) = x2 - 4 som q (x) = (x - 2) (x + 2). Klart er vi i tilfelle 1. Derfor:

(X - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Det kan også uttrykkes som:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Hvis x = - 2, har vi:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Og hvis x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Dermed må vi løse det gitte integralet som tilsvarer å løse:

Dette gir oss som et resultat:

Eksempel 3

Løs integralet:

Vi har q (x) = 9x4 + x2 , at vi kan faktor i q (x) = x2(9x2 + 1).

Ved denne anledningen har vi en gjentatt lineær faktor og en kvadratisk faktor; det vil si, vi er i tilfelle 3.

Vi må:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Gruppering og bruk av likestilling av polynomier har vi:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Fra dette system av ligninger må vi:

D = - 9 og C = 0

På denne måten har vi:

Ved å løse det ovenfor har vi:

Masseprosessloven

En interessant anvendelse av de partielle fraksjonene som er anvendt til integralkalkulatoren, er funnet i kjemi, nærmere bestemt i masseprosessloven.

Anta at vi har to stoffer A og B, som er sammenføyd og danner en substans C, slik at den deriverte av mengden av C som funksjon av tiden er proporsjonal med produktet av mengdene av A og B til enhver tid.

Vi kan uttrykke masseaktivitetsloven som følger:

I dette uttrykket er a den opprinnelige mengden gram som svarer til A og β den innledende mengden gram som tilsvarer B.

I tillegg representerer r og s antall gram A og B som kombinerer for å danne r + s gram C. For sin del representerer x grammet stoff C ved tid t, og K er den konstant av proporsjonalitet. Ovenstående ligning kan omskrives som:

Gjør følgende endring:

Vi har at ligningen blir:

Fra dette uttrykket kan vi få:

Hvor ja en ≠ b, kan partielle fraksjoner brukes til integrasjon.

eksempel

Ta for eksempel et stoff C som oppstår ved å kombinere et stoff A med en B, på en slik måte at masseloven er oppfylt der verdiene av a og b er henholdsvis 8 og 6. Gi en ligning som gir oss verdien av gram C som en funksjon av tiden.

Ved å erstatte verdiene i gitt masselov har vi:

Når vi skiller mellom variabler har vi:

Her kan 1 / (8 - x) (6 - x) skrives som summen av partielle fraksjoner, som følger:

Dermed er 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Hvis vi erstatter x for 6, har vi det B = 1/2; og erstatter x for 8, har vi A = - 1/2.

Integrering av partielle fraksjoner har vi:

Dette gir oss som et resultat:

Differensialekvasjoner: logistisk likning

Et annet program som kan gis til partielle fraksjoner er i den logistiske differensialligningen. I enkle modeller har vi at vekstraten til en befolkning er proporsjonal med størrelsen; det er:

Denne saken er en ideell og betraktes som realistisk inntil det skjer at ressursene som er tilgjengelige i et system, er utilstrekkelige for å opprettholde befolkningen.

I disse situasjonene er det mer rimelig å tro at det er maksimal kapasitet, som vi vil kalle L, at systemet kan opprettholde, og at vekstraten er proporsjonal med befolkningens størrelse multiplisert med den tilgjengelige størrelsen. Dette argumentet fører til følgende differensialekvasjon:

Dette uttrykket kalles den logistiske differensialligningen. Det er en skillbar differensialligning som kan løses med metoden for integrasjon av partielle fraksjoner.

eksempel

Et eksempel ville bli betraktet som en populasjon som vokser i henhold til den følgende logistiske differensialligningen y '= 0.0004y (1000 - y), er den initielle data 400. Vi ønsker å vite størrelsen av befolkningen ved tidspunktet t = 2, hvor t er målt i år.

Hvis vi skriver en og 'med Leibniz-notasjonen som en funksjon som avhenger av t, må vi:

Integralet til venstre side kan løses ved hjelp av metoden for integrasjon med partielle fraksjoner:

Denne siste likestilling kan omskrives som følger:

- Ved å erstatte y = 0 har vi A lik 1/1000.

- Ved å erstatte y = 1000 har vi at B er 1/1000.

Med disse verdiene er integralet som følger:

Løsningen er:

Bruke de første dataene:

Når du rydder og vi har igjen:

Da har vi det på t = 2:

Til slutt, etter 2 år er befolkningsstørrelsen ca. 597,37.

referanser

  1. A, R. A. (2012). Matematikk 1. Andes universitet. Publikasjonsråd.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 løst integraler. National Experimental University of Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). BEREGNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). beregningen. Mexico: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Omfattende beregning. hypotenusen.