Euklidisk geometrihistorie, grunnleggende begreper og eksempler

den Euklidisk geometri tilsvarer studien av egenskapene til geometriske rom hvor aksjene til euklid er tilfredsstillende. Mens dette begrepet noen ganger brukes til å omfatte geometrier som har overlegne dimensjoner med lignende egenskaper, er det vanligvis synonymt med klassisk geometri eller flat geometri..

I det tredje århundre a. C. Euclid og hans disipler skrev elementer, et arbeid som omfattet den matematiske kunnskapen om tiden som er utstyrt med en logisk-deduktiv struktur. Siden da har geometri blitt en vitenskap, i utgangspunktet for å løse klassiske problemer og har utviklet seg til en formativ vitenskap som bidrar til å begrunne.

index

• 1 historie
• 2 Grunnleggende begreper
  • 2.1 Vanlige forestillinger
  • 2.2 Postulater eller aksiomer
• 3 eksempler
  • 3.1 Første eksempel
  • 3.2 Andre eksempel
  • 3.3 Tredje eksempel
• 4 referanser

historie

For å snakke om historien om euklidisk geometri, er det viktig å begynne med Euklid av Alexandria og elementer.

Da Egypt var i hendene på Ptolemy, begynte jeg etter Alexander den store død, å begynne sitt prosjekt på en skole i Alexandria.

Blant vismene som lærte på skolen var Euclid. Det spekuleres at hans fødsel dateres omtrent fra 325 a. C. og hans død på 265 a. C. Vi kan med sikkerhet vite at han gikk til Platons skole.

I mer enn tretti år lærte Euclid i Alexandria å bygge sine berømte elementer: han begynte å skrive en uttømmende beskrivelse av matematikken i sin tid. Euclides lære lærte utmerkede disipler, som Archimedes og Apollonius av Perga.

Euclid var ansvarlig for å strukturere de forskjellige funnene fra de klassiske grekerne i elementer, men i motsetning til sine forgjengere begrenser det ikke seg for å bekrefte at en setning er sant; Euclides tilbyr en demonstrasjon.

den elementer De er et kompendium av tretten bøker. Etter Bibelen er det den mest publiserte boken, med mer enn tusen utgaver.

den elementer Det er mesterverk Euclid innen geometri, og tilbyr en definitiv behandling av to-dimensjonale geometri (flat) og tredimensjonal (space), som er opphavet til det som nå er kjent som euklidsk geometri.

Grunnleggende begreper

Elementene består av definisjoner, vanlige forestillinger og postulater (eller aksiomer) etterfulgt av teoremer, konstruksjoner og demonstrasjoner.

- Et poeng er det som ikke har noen deler.

- En linje er en lengde som ikke har bredde.

- En rett linje er den som ligger like i forhold til punktene som er i dette.

- Hvis to linjer er kuttet slik at de tilstøtende vinklene er like, kalles vinklene rett og linjene kalles perpendiculars..

- Parallelle linjer er de som, i samme plan, blir aldri kuttet.

Etter disse og andre definisjoner presenterer Euclid en liste over fem postulater og fem forestillinger.

Vanlige oppfatninger

- To ting som er lik en tredjedel, er lik hverandre.

- Hvis like ting legges til de samme tingene, er resultatene det samme.

- Hvis like ting trekkes fra de samme tingene, er resultatene de samme.

- Tingene som passer til hverandre, er lik hverandre.

- Summen er større enn en del.

Postulater eller aksiomer

- For to forskjellige punkter passerer en og eneste linje.

- Rette linjer kan forlenge ubestemt tid.

- Du kan tegne en sirkel med et senter og en hvilken som helst radius.

- Rett vinkler er de samme.

- Hvis en rett linje krysser to rette linjer slik at de indre vinklene på samme side legger opp til mindre enn to rette vinkler, vil de to linjene skjære på den siden.

Dette siste postulatet er kjent som parallellpostulatet og ble omformulert som følger: "For et punkt utenfor en linje kan du tegne en enkelt parallell til den angitte linjen".

eksempler

Deretter, noen teoremer av elementer de vil tjene til å vise egenskaper av geometriske rom hvor de fem postulatene til euklid er oppfylt; I tillegg vil de illustrere den logisk-deduktive resonnementet som brukes av denne matematikeren.

Første eksempel

Forslag 1.4. (LAL)

Hvis to trekanter har to sider og vinkelen mellom dem er like, så er de andre sidene og de andre vinklene like.

showet

La ABC og A'B'C være to trekanter med AB = A'B ', AC = A'C' og vinklene BAC og B'A'C 'like. Flytt til trekant A'B'C 'slik at A'B' faller sammen med AB, og at vinkelen B'A'C 'sammenfaller med vinkel BAC.

Deretter faller linje A'C sammen med linje AC, slik at C 'faller sammen med C. Da, med postulat 1, må linje BC falle sammen med linje B'C'. Derfor sammenfaller de to trekanter og dermed deres vinkler og sider er like.

Andre eksempel

Forslag 1.5. (Pons Asinorum)

Hvis en trekant har to like sider, er vinklene overfor disse sidene like.

showet

Anta at trekant ABC har like sider AB og AC.

Deretter har trekanter ABD og ACD to like sider og vinklene mellom dem er like. Således, med proposisjon 1.4, er vinklene ABD og ACD like.

Tredje eksempel

Forslag 1.31

Du kan bygge en linje parallelt med en linje gitt av et gitt punkt.

konstruksjon

Gitt en linje L og et punkt P, en M-linje gjennom P og kuttet L. Deretter P er tegnet av en linje som skjærer N L. Nå, P plottet ved hjelp av en linje N trekkes § M, danner en vinkel lik den som L danner med M.

aksept

N er parallell med L.

showet

La L og N ikke er parallelle og skjærer hverandre i et punkt A. la B l punkt utenfor A. Betrakt linje O som passerer gjennom B og P. Deretter O M kuttet vinkler til sammen mindre enn to rett.

Deretter, med 1,5 må linjen O kutte til linjen L på den andre siden av M, så L og O krysser på to punkter, som står i motsetning til postulatet 1. Derfor må L og N være parallelle.

referanser

1. Euklid. Elementer av geometri. National Autonomous University of Mexico
2. Euclides. De første seks bøkene og ellevte og tolvte elementene i Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktikk og historie om euklidisk geometri. Iberoamerican Editorial Group
4. K.Ribnikov. Matematikkhistorie Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Venezuelansk C.A redaksjonell.