Parallelepipede egenskaper, typer, areal, volum

en parallellepiped er en geometrisk kropp dannet av seks ansikter, hvis hovedkarakteristikk er at alle deres ansikter er parallellogrammer og også deres motsatte ansikter er parallelle med hverandre. Det er en vanlig polyhedron i vårt daglige liv, siden vi finner den i skobokser, formen på en murstein, formen på en mikrobølgeovn, etc..

Å være en polyhedron omslutter parallellpipedene en endelig volum og alle ansikter er flate. Det er en del av gruppen prismer, som er de polyederne der alle deres krysser er inneholdt i to parallelle fly.

index

• 1 Elever av Parallelepiped
  • 1.1 Ansikter
  • 1,2 kanter
  • 1.3 Vertex
  • 1,4 Diagonal
  • 1,5 senter
• 2 Karakteristika for Parallelepiped
• 3 typer
  • 3.1 Beregning av diagonaler
• 4 Areal
  • 4.1 Område av en orthohedron
  • 4.2 Kubens areal
  • 4.3 Område av rhombohedron
  • 4.4 Område av en rhombisk
• 5 Volum av en parallellpiped
  • 5.1 Perfekt parallellpiped
• 6 Bibliografi

Elements of the parallelepiped

Caras

De er hver av regionene dannet av parallellogrammer som begrenser parallellpiped. En parallellpiped har seks ansikter, hvor hvert ansikt har fire tilstøtende ansikter og ett motsatte. I tillegg er hver side parallell med motsatt.

Aristas

De er felles siden av to ansikter. Totalt har en parallellpiped tolv kanter.

toppunktet

Det er poenget med tre ansikter som støter til hverandre to til to. En parallellpiped har åtte hjørner.

diagonal

Gitt to motsatte sider av en parallellpiped, kan vi tegne et linjesegment som går fra toppunktet fra det ene ansikt til det motsatte vertexet til det andre.

Dette segmentet er kjent som parallellpipedens diagonale. Hver parallellpiped har fire diagonaler.

sentrum

Det er punktet som alle diagonaler krysser.

Egenskaper for parallellpiped

Som vi nevnte, har denne geometriske kroppen tolv kanter, seks ansikter og åtte hjørner.

I en parallellpiped kan du identifisere tre sett dannet av fire kanter, som er parallelle med hverandre. I tillegg oppfyller kantene på disse settene også egenskapen til å ha samme lengde.

En annen egenskap som parallelle piper har, er at de er konvekse, det vil si hvis vi tar noen par punkter som tilhører det indre av parallellpiped, vil segmentet bestemt av nevnte par punkter også være inne i parallellpiped..

I tillegg er parallelle piper som er konvekse polyeder, i samsvar med Eulers sats for polyeder, noe som gir oss et forhold mellom antall ansikter, antall kanter og antall krysser. Dette forholdet er gitt i form av følgende ligning:

C + V = A + 2

Denne funksjonen er kjent som Eulers karakteristikk.

Hvor C er antall ansikter, V antall kryss og A antall kanter.

typen

Vi kan klassifisere parallelle pipetter basert på deres ansikter, i følgende typer:

cuboid

De er parallelle pipetter hvor deres ansikter er dannet av seks rektangler. Hvert rektangel er vinkelrett med de som det deler kanten. De er de vanligste i vårt daglige liv, dette er den vanlige måten å skoskuffer og murstein på.

Kube eller vanlig hexahedron

Dette er et spesielt tilfelle av den forrige, hvor hver av ansiktene er en firkant.

Kuben er også en del av de geometriske legemene kalt platoniske faste stoffer. Et platonisk fast stoff er en konveks polyhedron, slik at begge ansikter og dets indre vinkler er lik hverandre.

romboedro

Det er en parallellpiped med diamanter på ansiktet. Disse diamantene er alle likte hverandre, da de deler kanter.

Romboiedro

De seks ansiktene er rhomboider. Husk at en rhomboid er et polygon med fire sider og fire vinkler som er like to til to. Rhomboidene er parallellogrammer som ikke er firkantede, heller ikke rektangler eller rhombuses.

På den annen side er de skrå parallelle pipetter de som minst en høyde ikke stemmer overens med sin kant. I denne klassifiseringen kan vi inkludere rhombohedrons og rhombichedrons.

Diagonal beregning

For å beregne diagonal av en orthohedron kan vi bruke Pythagorean Theorem for R³.

Husk at en orthohedron har karakteristikken at hver side er vinkelrett med sidene som deler kanten. Fra dette faktum kan vi utlede at hver kant er vinkelrett med de som deler vertex.

For å beregne lengden på en diagonal av en orthohedron fortsetter vi som følger:

1. Vi beregner diagonalen til et av ansiktene, som vi legger som en base. For dette bruker vi Pythagorasetningen. Gi denne diagonalen navnet d_b.

2. Så med d_b vi kan danne en ny høyre trekant, slik at hypotenusen av trekanten er diagonal D søkt.

3. Vi bruker igjen Pythagorasetningen og vi har at lengden på diagonalen er:

En annen måte å beregne diagonaler på en mer grafisk måte er med summen av frie vektorer.

Husk at to frie vektorer A og B er tilsatt ved å plassere halen av vektor B med spissen av vektor A.

Vektoren (A + B) er den som starter ved halen av A og slutter på spissen av B.

Tenk på en parallellpiped som vi vil beregne en diagonal på.

Vi identifiserer kanter med beleilig orienterte vektorer.

Da legger vi til disse vektorene, og den resulterende vektoren vil være diagonalen til parallellpiped.

område

Området av en parallellpiped er gitt av summen av hvert av områdene av deres ansikter.

Hvis vi bestemmer en av sidene som basen,

En_L + 2A_B = Totalt areal

Hvor A_L er lik summen av områdene av alle sidene ved siden av basen, kalt lateralområdet og A_B er basisområdet.

Avhengig av hvilken type parallelepiped som vi jobber med, kan vi omskrive formelen.

Område av en orthohedron

Den er gitt av formelen

A = 2 (ab + bc + ca).

Eksempel 1

Gitt følgende orthohedron, med sider a = 6 cm, b = 8 cm og c = 10 cm, beregner området for parallellpiped og lengden på diagonalen.

Ved hjelp av formelen for området av en orthohedron må vi

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Merk at siden det er en ortoeder, er lengden på en av de fire diagonaler det samme.

Ved hjelp av Pythagorasetningen for rom må vi

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Kubens areal

Siden hver kant har samme lengde, har vi a = b og a = c. Ved å erstatte i forrige formel har vi

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Eksempel 2

Boksen til en spillkonsoll har formen av en terning. Hvis vi ønsker denne boksen innpakningspapir for gaver, hvor mye papir ville tilbringe vite at lengden av kubekantene er 45 cm?

Ved å bruke formelen av kubeområdet får vi det

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²= 12150 cm²

Område av en rhombohedron

Siden alle ansikter er like, er det nok å beregne området til en av dem og multiplisere det med seks.

Vi kan beregne området av en diamant ved hjelp av diagonaler med følgende formel

En_R = (Dd) / 2

Ved hjelp av denne formelen følger det at det totale arealet av rhombohedronen er

En_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Eksempel 3

Romboedrisk ansikter følgende er dannet av en rombe hvis diagonaler er D = 7 cm og d = 4 cm. Ditt område vil være

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Område av en rhombisk

For å beregne arealet av en rhombic må vi beregne området til rhomboidene som komponerer det. Siden parallelle pipetter overholder egenskapen at motsatte sider har samme område, kan vi knytte sidene i tre par.

På denne måten har vi at ditt område vil være

En_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Hvor b_jeg er basene forbundet med sidene og_jeg dens relative høyde som svarer til nevnte baser.

Eksempel 4

Vurder følgende parallellpiped,

hvor side A og side A '(motsatt side) har som base b = 10 og for høyde h = 6. Det markerte området vil ha en verdi på

En₁ = 2 (10) (6) = 120

B og B 'har b = 4 og h = 6, da

En₂ = 2 (4) (6) = 48

Og C og C 'har b = 10 og h = 5, så

En₃ = 2 (10) (5) = 100

Endelig er området av rhombohedronen

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volum av en parallellpiped

Formelen som gir oss volumet av en parallellpiped er produktet av arealet av en av dens ansikter ved høyden som tilsvarer nevnte ansikt.

V = A_Ch_C

Avhengig av typen av parallellpiped kan nevnte formel forenkles.

Så vi har for eksempel at volumet av en orthohedron ville bli gitt av

V = abc.

Hvor a, b og c representerer lengden på ortokedronkanter.

Og i det spesielle tilfellet av kuben er

V = a³

Eksempel 1

Det finnes tre forskjellige modeller for bokser med informasjonskapsler, og du vil vite hvilken av disse modellene du kan lagre flere cookies, det vil si hvilken av boksene som har høyest volum.

Den første er en terning som har en lengde på a = 10 cm

Dens volum vil være V = 1000 cm³

Den andre har kanter b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Og derfor er volumet V = 765 cm³

Og den tredje har e = 9 cm, f = 9 cm og g = 13 cm

Og volumet er V = 1053 cm³

Derfor er boksen med det største volumet det tredje.

En annen metode for å oppnå volumet av en parallellpiped er å ty til vektoralgebra. Spesielt det tredobbelte skalarproduktet.

En av de geometriske fortolkningene som har det tredobbelte skalarproduktet er volumet av parallellpiped, hvis kanter er tre vektorer som deler samme vertex som utgangspunkt.

Dermed hvis vi har en cuboid og ønsker å vite hva din volum, bare representere et koordinatsystem R³ som matcher en av dens hjørner med opprinnelsen.

Da representerer vi kantene som stemmer overens med opprinnelsen med vektorer som vist på figuren.

Og på denne måten har vi at volumet av den nevnte parallelle pipepipen er gitt av

V = | AxB ∙ C |

Eller ekvivalent er volumet determinant av 3 × 3 matrisen, dannet av komponentene i kantvektorene.

Eksempel 2

Ved å representere neste parallellepiped i R³ vi kan se at vektorer som bestemmer det er følgende

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) og w = (-0,25, -4, 4)

Ved hjelp av det tredobbelte skalarproduktet vi har

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Fra dette konkluderer vi at V = 60

Nå vurder følgende parallelle pipepiped i R3 hvis kanter bestemmes av vektorene

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) og C = (3,4,4)

Bruk av determinanter gir oss det

Så vi har at volumet av parallellpiped er 112.

Begge er ekvivalente måter å beregne volumet på.

Perfekt parallellpiped

Det er kjent som Eulers murstein (eller Eulers blokk) til en orthohedron som oppfyller egenskapen at både lengden på kantene og lengden på diagonalene til hver av sine ansikter er heltall.

Mens Euler ikke var den første forskeren som studerte orthoederrons som møtte den egenskapen, fant han interessante resultater om dem.

Den mindre Euler murstein ble oppdaget av Paul Halcke og lengden av kantene er a = 44, b = 117 og c = 240.

Et åpent problem i talteori er som følger

Er det perfekte orthoederrons?

For tiden kan dette spørsmålet ikke besvares, siden det ikke har vært mulig å bevise at disse organene ikke eksisterer, men det har ikke blitt funnet noen.

Det som har blitt vist så langt er at perfekte parallelle piper eksisterer. Den første som oppdages, har lengden på kantene sine verdier 103, 106 og 271.

bibliografi

1. Guy, R. (1981). Uoppløste problemer i talteori. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. fremgang.
3. Leithold, L. (1992). BEREGNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Teknisk tegning: Arbeidsbok 3 Andre Baccalaureat . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysikk Vol. 1. Mexico: Kontinentalt.