Produktkorsegenskaper, applikasjoner og løste øvelser



den Kryss produkt eller produktvektor Det er en måte å formere to eller flere vektorer. Det er tre måter å formere vektorer, men ingen av disse er en multiplikasjon i ordets vanlige forstand. En av disse formene er kjent som et vektorprodukt, som resulterer i en tredje vektor.

Vektorproduktet, som også kalles kryssprodukt eller eksternt produkt, har forskjellige algebraiske og geometriske egenskaper. Disse egenskapene er svært nyttige, særlig i studiet av fysikk.

index

  • 1 Definisjon
  • 2 Egenskaper
    • 2.1 Bolig 1
    • 2.2 Eiendom 2
    • 2.3 Eiendom 3
    • 2.4 Eiendom 4 (trippel skalarprodukt)
    • 2.5 Eiendom 5 (trippel vektorprodukt)
    • 2.6 Eiendom 6
    • 2.7 Eiendom 7
    • 2.8 Eiendom 8
  • 3 applikasjoner
    • 3.1 Volumberegning av en parallellpiped
  • 4 Oppgaver løst
    • 4.1 Øvelse 1
    • 4.2 Øvelse 2
  • 5 referanser

definisjon

En formell definisjon av vektoren produkt er som følger: når A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3) er vektorer, så vektoren produktet av A og B, som betegne som AxB, er:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

På grunn av notatet AxB, står det som "A cross B".

Et eksempel på hvordan du bruker det ytre produktet er at hvis A = (1, 2, 3) og B = (3, -2, 4) er vektorer, så bruker du definisjonen av vektorprodukt har vi:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, 8).

En annen måte å uttrykke vektorproduktet på er gitt av determinanter notasjonen.

Beregningen av en andreordens determinant er gitt av:

Derfor kan formelen av vektorproduktet gitt i definisjonen omskrives som følger:

Dette forenkles vanligvis i en tredje rekkefølge som følger:

Hvor jeg, j, k representerer vektorer som danner grunnlaget for R3.

Ved å bruke denne måten å uttrykke kryssproduktet, har vi at forrige eksempel kan skrives om som:

egenskaper

Noen egenskaper som vektorproduktet har, er følgende:

Eiendom 1

Hvis A er noen vektor i R3, Vi må:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Disse egenskapene er enkle å kontrollere med bare definisjonen. Hvis A = (a1, a2, a3) må vi:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Hvis jeg, j, k representerer enhetens grunnlag for R3, Vi kan skrive dem som følger:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Da må vi oppfylle følgende egenskaper:

Som en mnemonisk regel, for å huske disse egenskapene, brukes følgende sirkel vanligvis:

Der skal vi merke seg at en vektor med seg selv resulterer i vektor 0, og resten av produktene kan fås med følgende regel:

Korsproduktet av to påfølgende vektorer i retning med urviseren gir følgende vektor; og når du vurderer mot klokken, er resultatet den følgende vektoren med et negativt tegn.

Takket være disse egenskapene kan vi se at vektorgruppen ikke er kommutativ; for eksempel er det nok å legge merke til at jeg x j ≠ j x i. Følgende eiendom forteller oss hvordan AxB og BxA relaterer seg generelt.

Eiendom 2

Hvis A og B er R vektorer3, Vi må:

AxB = - (BxA).

showet

Hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3), etter definisjon av eksternt produkt har vi:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Vi kan også observere at dette produktet ikke er associativt med følgende eksempel:

ix (ixj) = ixk = - j men (ixi) xj = 0xj = 0

Fra dette kan vi observere det:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Eiendom 3

Hvis A, B, C er R vektorer3 og r er et reelt tall, er følgende sant:

- Akse (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = akse (rB)

Takket være disse egenskapene kan vi beregne vektorgruppen ved hjelp av algebraloven, forutsatt at bestillingen blir respektert. For eksempel:

Hvis A = (1, 2, 3) og B = (3, -2, 4), kan vi omskrive dem basert på det kanoniske grunnlaget for R3.

Dermed er A = i + 2j + 3k og B = 3i - 2j + 4k. Deretter bruker du de forrige egenskapene:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (IXJ) + 4 (ixk) + 6 (JXI) - 4 (jxj) + 8 (JXK) + 9 (kxi) - 6 (kxj) 12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Eiendom 4 (triple scalar produkt)

Som vi nevnte i begynnelsen, er det andre måter å formere vektorer i tillegg til vektorproduktet. En av disse måtene er skalarproduktet eller det indre produktet, som er betegnet som A ∙ B og hvis definisjon er:

Hvis A = (a1, a2, a3) og B = (b1, b2, b3), så A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Egenskapen som angår begge produktene, kalles det tredobbelte skalarproduktet.

Hvis A, B og C er R-vektorer3, da A ∙ BxC = AxB ∙ C

Som et eksempel, la oss se at, gitt A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) og C = (- 5, 1, - 4), er denne eiendommen oppfylt.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A-BxC = (1, 1, 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

På den annen side:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1 - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) (7) (- 4) = - 74

Et annet trippelprodukt er Axe (BxC), som er kjent som tredobbelt vektorprodukt.

Eiendom 5 (trippel vektorprodukt)

Hvis A, B og C er R vektorer3,  deretter:

Akse (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Som et eksempel se at, gitt A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) og C = (- 5, 1 - 4), ved at egenskapen holder.

Fra forrige eksempel vet vi at BxC = (- 18, - 22, 17). La oss beregne Axe (BxC):

Akse (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

På den annen side må vi:

A - C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) 1 + 8 = 4

A - B = (1, 1, 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Så må vi:

(A - C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, 4) = (- 12, 16, 8) + - 12) = (- 27,19, -4)

Eiendom 6

Det er en av geometriske egenskapene til vektorer. Hvis A og B er to vektorer i R3 og Θ er vinkelen som dannes mellom disse, da:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), hvor || ∙ || Betegner modulen eller størrelsen på en vektor.

Den geometriske fortolkningen av denne eiendommen er som følger:

La A = PR og B = PQ. Deretter er vinkelen dannet av vektorer A og B vinkelen P av trekanten RQP, som vist i den følgende figur.

Derfor er området av parallellogrammet med tilstøtende sider PR og PQ | | A |||| B || sin (Θ), siden vi kan ta utgangspunkt i || A || og dens høyde er gitt av || B || sin (Θ).

På grunn av dette kan vi konkludere med at | | AxB || er området av nevnte parallellogram.

eksempel

Gitt de følgende punkter i en firkantet P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) og S (5,7, -3), viser at den firesidige er et parallellogram og finner sitt område.

For dette bestemmer vi først vektorer som bestemmer retningen for sidene av firkanten. Dette er:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, -1 - 3) = (3, 5, 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, 2)

C = RS = (5-2, 7-2, -3-1) = (3, 5, 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, 2)

Som vi kan observere A og C har den samme vektorregissøren, som vi har at begge er parallelle; på samme måte som det skjer med B og D. Derfor konkluderer vi at PQRS er et parallellogram.

For å få området til parallellogrammet, beregner vi BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Derfor vil det kvadratiske området være:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Det kan konkluderes med at parallellogramområdet vil være kvadratroten på 89.

Eiendom 7

To vektorer A og B er parallelle i R3 ja og bare hvis AxB = 0

showet

Det er klart at hvis A eller B er nullvektoren, følger det at AxB = 0. Siden nullvektoren er parallell med hvilken som helst annen vektor, er eiendommen gyldig.

Hvis ingen av de to vektorene er nullvektoren, har vi at deres størrelser er forskjellige fra null; det vil si, begge || A || ≠ 0 som || B || ≠ 0, så vi må | | AxB || = 0 hvis og bare hvis synd (Θ) = 0, og dette skjer hvis og bare hvis Θ = π eller Θ = 0.

Derfor kan vi konkludere AxB = 0 hvis og bare hvis Θ = π eller Θ = 0, som bare skjer når begge vektorer er parallelle med hverandre.

Eiendom 8

Hvis A og B er to vektorer i R3, så er AxB vinkelrett på både A og B.

showet

For denne demonstrasjonen, husk at to vektorer er vinkelrett hvis A ∙ B er lik null. I tillegg vet vi at:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, men AxA er lik 0. Derfor må vi:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Av dette kan vi konkludere at A og AxB er vinkelrett på hverandre. På en analog måte må vi:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Som BxB = 0, må vi:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Derfor er AxB og B vinkelrett på hverandre, og med dette er egenskapen demonstrert. Dette er veldig nyttig, siden de tillater oss å bestemme ligningen til et fly.

Eksempel 1

Oppnå en ligning av flyet som passerer gjennom punktene P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) og R (2, 1, 3).

La A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3-2) og B = PR = (2-1,1-3,3-2). Da er A = - i + 3j + k og B = i - 2j + k. For å finne flyet som dannes av disse tre punktene, er det nok å finne en vektor som er normal mot flyet, som er AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Med denne vektoren, og tar poenget P (1, 3, 2), kan vi bestemme ligningen for flyet som følger:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1 og - 3 z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Så, vi har at likningen av flyet er 5x + 2y - z - 9 = 0.

Eksempel 2

Finn ligningen til flyet som inneholder punktet P (4, 0, - 2) og det er vinkelrett på hver av planetene x - y + z = 0 og 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Å vite at en normal vektor til et plan ax + ved + cz + d = 0 er (a, b, c), vi har det (1, -1,1) er en normal vektor x - y + z = 0 y 2,1, - 4) er en normal vektor av 2x + y - 4z - 5 = 0.

Derfor må en normal vektor til ønsket plan være vinkelrett på (1, -1,1) og a (2, 1, 4). Den nevnte vektoren er:

(1, -1,1) x (2,1, -4) = 3i + 6j + 3k.

Da har vi at det søkte flyet er det som inneholder punktet P (4,0, -2) og har vektoren (3,6,3) som en normal vektor.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

søknader

Beregning av volum av en parallellpiped

En applikasjon som har det tredobbelte skalarproduktet er å kunne beregne volumet av en parallellpiped hvis kantene er gitt av vektorer A, B og C, som vist på figuren:

Vi kan utlede denne applikasjonen på følgende måte: vektoren AxB er som en vektor som er normal for planet A og B. Vi har også at vektoren - (AxB) er en annen vektor som er normal til planet.

Vi velger den normale vektoren som danner den minste vinkelen med vektoren C; uten tap av generalitet, la AxB være vektoren hvis vinkel med C er den minste.

Vi har at både AxB og C har samme utgangspunkt. I tillegg vet vi at arealet av parallellogrammet som danner grunnen til parallellpiped er || AxB ||. Derfor, hvis høyden på parallellpiped er gitt av h, har vi at volumet vil være:

V = || AxB || h.

På den annen side vurderer skalarproduktet mellom AxB og C, som kan beskrives som følger:

Men med trigonometriske egenskaper har vi det h = || C || cos (Θ), så vi må:

På denne måten må vi:

Generelt har vi at volumet av en parallellpiped er gitt av absoluttverdien til det tredobbelte skalarproduktet AxB ∙ C.

Løste oppgaver

Øvelse 1

Gitt poengene P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) og S = (2, 6, 9) danner disse punktene en parallellpiped med kanter de er PQ, PR og PS. Bestem volumet av den parallelle pipepiped.

oppløsning

Hvis vi tar:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Ved å bruke egenskapen til det tredobbelte skalarproduktet må vi:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Derfor har vi at volumet av nevnte parallellpiped er 52.

Øvelse 2

Bestem volumet av en parallellpiped hvis kantene er gitt ved A = PQ, B = PR og C = PS, hvor punktene P, Q, R og S er (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) og (2, 2, 5).

oppløsning

Først har vi det A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Vi beregner AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Deretter beregner vi AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Dermed konkluderer vi at volumet av den parallelle pipepiped er 1 kubikk enhet.

referanser

  1. Leithold, L. (1992). BEREGNINGEN med analytisk geometri. HARLA, S.A.
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fysikk Vol. 1. Mexico: Kontinentalt.
  3. Saenz, J. (s.f.). Vector Beregning 1ed. hypotenusen.
  4. Spiegel, M.R. (2011). Vektoranalyse 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Beregning av ulike variabler 4ed. Mc Graw Hill.