Merkbare produkter forklaring og øvelser løst



den bemerkelsesverdige produkter er algebraiske operasjoner der multiplikasjon av polynomer, som trenger ikke tradisjonelt løst, men med hjelp av visse regler kan bli funnet de samme resultatene er uttrykt.

Polynomier blir multiplisert med seg selv, derfor kan de ha et stort antall termer og variabler. For å gjøre prosessen kortere, brukes reglene for de bemerkelsesverdige produktene, noe som tillater at multiplikasjoner skal gjøres uten å måtte gå etter sikt..

index

  • 1 Merkbare produkter og eksempler
    • 1.1 Binomial kvadrert
    • 1.2 Produkt av konjugerte binomialer
    • 1.3 Produkt av to binomials med en felles betegnelse
    • 1.4 Polynomisk kvadrat
    • 1.5 Binomial til terningen
    • 1,6 Bøtte av et trinomialt
  • 2 Øvelser løst for bemerkelsesverdige produkter
    • 2.1 Øvelse 1
    • 2.2 Øvelse 2
  • 3 referanser

Merkbare produkter og eksempler

Hvert bemerkelsesverdig produkt er en formel som skyldes en faktorisering, sammensatt av polynomer av forskjellige termer som binomialer eller trinomier, kalt faktorer.

Faktorene er grunnlaget for en kraft og har en eksponent. Når faktorene multipliserer, må eksponenter legges til.

Det finnes flere bemerkelsesverdige produktformler, noen er mer brukte enn andre, avhengig av polynomene, og de er følgende:

Binomial kvadratet

Det er multiplikasjonen av et binomial av seg selv, uttrykt i form av kraft, der vilkårene legges til eller trekkes ned:

a. Binomial av summen til torget: er lik kvadratet av første sikt, pluss to ganger produktet av vilkårene, pluss kvadratet av andre sikt. Det uttrykkes som følger:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Følgende figur viser hvordan produktet er utviklet i henhold til ovennevnte regel. Resultatet kalles trinomialet til et perfekt firkant.

Eksempel 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Eksempel 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Binomial av en subtraksjon squared: Den samme regelen gjelder for binomialet av en sum, bare at i dette tilfellet er andre termen negativ. Dens formel er følgende:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +den andre * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

Eksempel 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Produkt av konjugerte binomials

To binomials er konjugert når de andre betingelsene av hver er av forskjellige tegn, det vil si at den første er positiv og den andre negativ eller vice versa. Løs ved å heve hver monomy-firkant og trekke av. Dens formel er følgende:

(a + b) * (a - b)

I den følgende figur er produktet av to konjugerte binomialer utviklet, der det observeres at resultatet er en forskjell på firkanter.

Eksempel 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.

Produkt av to binomials med en felles term

Det er en av de mest komplekse og lite brukte bemerkelsesverdige produktene fordi det er en multiplikasjon av to binomialer som har en felles betegnelse. Regelen indikerer følgende:

  • Torget av det vanlige begrepet.
  • Pluss legg til vilkårene som ikke er vanlige, og multipliser dem med vanlig term.
  • Pluss summen av multiplikasjon av termer som ikke er vanlige.

Den er representert i formelen: (x + a) * (x + b) og den er utviklet som vist på bildet. Resultatet er en firkantet trinomial ikke perfekt.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Det er en mulighet for at andre termen (den andre termen) er negativ og dens formel er følgende: (x + a) * (x - b).

Eksempel 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Det kan også være tilfelle at begge forskjellige termer er negative. Dens formel vil være: (x - a) * (x - b).

Eksempel 3

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6-5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Square polynomial

I dette tilfellet er det mer enn to begreper og å utvikle det, hver er kvadret og lagt sammen med to ganger multiplikasjonen av ett begrep med en annen; dens formel er: (a + b + c)2 og resultatet av operasjonen er en trinomisk kvadrat.

Eksempel 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4Z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16Z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial til terningen

Det er et bemerkelsesverdig komplekst produkt. For å utvikle den, multipliser binomialet ved sin firkant, på følgende måte:

a. For binomialet til kuben av summen:

  • Kuben av første sikt, pluss trippelen av torget i første sikt ved den andre.
  • Pluss trippel første sikt, for andre kvadrat.
  • Pluss kuben av den andre sikt.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (en2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + den andre2b + ab2 + BA2 + 2AB2 + b3

(a + b)3 = a3 + den tredje2b + 3ab2 + b3.

Eksempel 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

b. For binomialet til kuben av en subtraksjon:

  • Kuben av første sikt, minus trippelen av torget i første sikt ved den andre.
  • Pluss trippel første sikt, for andre kvadrat.
  • Mindre kuben av andre sikt.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (en2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - den andre2b + ab2 - BA2 + 2AB2 - b3

(a - b)3 = til3 - den tredje2b + 3ab2 - b3.

Eksempel 2

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3 (b)2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b - 125.

Bunke av et trinomialt

Den utvikler seg ved å multiplisere den med sin firkant. Det er et bemerkelsesverdig produkt svært omfattende fordi det er 3 termer hevet til kuben, pluss tre ganger hvert ord kvadrert, multiplisert med hver av vilkårene, pluss seks ganger produktet av de tre betingelsene. Sett på en bedre måte:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (en2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + c3 + den tredje2b + 3ab2 + den tredje2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

Eksempel 1

Løste øvelser av bemerkelsesverdige produkter

Øvelse 1

Utvikle følgende binomial til terningen: (4x - 6)3.

oppløsning

Husker at en binomial til kuben er lik den første termen hevet til kuben, mindre trippelen av kvadratet av første sikt ved den andre; pluss trippelen av første sikt, ved den andre kvadrert, minus kuben av den andre sikt.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Øvelse 2

Utvikle følgende binomial: (x + 3) (x + 8).

oppløsning

Det er en binomial hvor det er en felles term, som er x og den andre termen er positiv. For å utvikle det må du bare firkantet det vanlige uttrykket, pluss summen av vilkårene som ikke er vanlige (3 og 8) og deretter multiplisere dem med det vanlige begrepet, pluss summen av multiplikasjonen av termer som ikke er vanlige.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

referanser

  1. Angel, A. R. (2007). Elementær algebra. Pearson Education,.
  2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  3. Das, S. (s.f.). Maths Plus 8. Storbritannia: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Elementær og mellomliggende algebra: En kombinert tilnærming. Florida: Cengage Learning.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.