Bayes teoremforklaring, applikasjoner, øvelser



den Bayes-setningen er en prosedyre som tillater oss å uttrykke den betingede sannsynligheten for en tilfeldig hendelse En gitt B, i form av sannsynlighetsfordelingen av hendelsen B gitt A og sannsynlighetsfordelingen av bare A.

Denne setningen er veldig nyttig, fordi takket være det kan vi forholde seg til sannsynligheten for at en hendelse A opptrer ved at B oppstod, med sannsynligheten for at det motsatte skjer, det vil si at B oppstår gitt A.

Bayes 'teorem var et sølvspørsmål av reverend Thomas Bayes, en engelskspråklig teolog som var også en matematiker. Han var forfatter av flere verk i teologi, men er for tiden kjent for et par matematiske avhandlinger, deriblant den nevnte Bayes-teorien skiller seg ut som hovedresultatet..

Bayes jobbet med dette teoremet i en artikkel med tittelen "An Essay mot å løse et problem i Lære av Sjansen" (A rettssak for å løse et problem i læren om sjansene), publisert i 1763, og som har de utviklet store Studier med applikasjoner innen ulike kunnskapsområder.

index

  • 1 Forklaring
  • 2 Anvendelser av Bayesetning
    • 2.1 Løst oppgaver
  • 3 referanser

forklaring

For det første, for videre forståelse av denne setningen, er noen grunnleggende begreper om sannsynlighetsteori nødvendig, spesielt multiplikasjonssetningen for betinget sannsynlighet, som sier at

For E og A vilkårlig hendelser i et prøveområde S.

Og definisjonen av partisjoner, som forteller oss at hvis vi har A1 ,En2,..., An hendelser i et prøveområde S, vil disse danne en partisjon av S, hvis Ajeg de er gjensidig eksklusiv og deres forening er S.

Å ha dette, la B være en annen hendelse. Da kan vi se B som

Hvor Ajeg krysset med B er gjensidig eksklusive hendelser.

Og dermed,

Deretter bruker du multiplikasjonssetningen

På den annen side er den betingede sannsynligheten for Ai gitt B definert av

Bytte tilstrekkelig må vi for noen jeg

Søknader om Bayes-setningen

Takket være dette resultatet har forskningsmiljøer og ulike bedrifter lykkes å forbedre systemene som er basert på kunnskap.

For eksempel i studien av sykdommer kan Bayes teorem bidra til å skille sannsynligheten for at en sykdom vil bli funnet i en gruppe mennesker med en gitt karakteristikk, idet de som data tar de globale sykdomsratene og overhodet av nevnte egenskaper i folk både sunn og syk.

På den annen side har i verden av høyteknologiske teknologier påvirket store selskaper som har utviklet, takket være dette resultatet, "Basert på kunnskap".

Som et dagligdags eksempel har vi Microsoft Office assistent. Bayes teorem hjelper programvaren til å vurdere problemene som brukeren presenterer og bestemme hvilke råd som skal tilveiebringes og dermed kunne tilby bedre service i henhold til brukerens vaner.

Det skal bemerkes at denne formelen ble ignorert til nyere tid, dette skyldes hovedsakelig at når dette resultatet ble utviklet for 200 år siden, var det lite praktisk bruk for dem. Men i vår tid, takket være de store teknologiske fremskrittene, har forskere oppnådd måter å sette dette resultatet i praksis.

Løste oppgaver

Øvelse 1

Et mobilselskap har to maskiner A og B. 54% av produserte mobiltelefoner er laget av maskin A og resten ved maskin B. Ikke alle produserte mobiltelefoner er i god stand.

Andelen defekte mobiltelefoner laget av A er 0,2 og ved B er 0,5. Hva er sannsynligheten for at en mobiltelefon av fabrikken er defekt? Hva er sannsynligheten for at du vet at en mobiltelefon er defekt, kommer fra maskin A?

oppløsning

Her har du et eksperiment som er gjort i to deler; I første del skjer hendelsene:

A: mobiltelefon laget av maskin A.

B: mobiltelefon laget av maskin B.

Siden maskin A produserer 54% av mobiltelefoner og resten produseres av maskin B, produserer maskin B 46% av mobiltelefoner. Sannsynlighetene for disse hendelsene er gitt, nemlig:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Hendelsene i den andre delen av eksperimentet er:

D: defekt celle.

E: Ikke-defekt celle.

Som det står i uttalelsen, er sannsynlighetene for disse hendelsene avhengig av resultatet som ble oppnådd i første del:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Ved å bruke disse verdiene kan du også bestemme sannsynlighetene for komplementene til disse hendelsene, det vil si:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

og

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Nå kan hendelsen D skrives som følger:

Ved å bruke multiplikasjonssetningen for betinget sannsynlighet, resulterer det:

Med hvilken det første spørsmålet besvares.

Nå trenger vi bare å beregne P (A | D), som Bayes-setningen gjelder for:

Takket være Bayes Theorem, kan det sies at sannsynligheten for at en mobiltelefon ble laget av maskin A, da det var kjent at mobiltelefonen er defekt, er 0.319.

Øvelse 2

Tre bokser inneholder hvite og sorte baller. Sammensetningen av hver av dem er som følger: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

En av boksene er valgt tilfeldig og en tilfeldig ball blir hentet fra den, som viser seg å være hvit. Hvilken boks er mest sannsynlig å ha blitt valgt?

oppløsning

Gjennom U1, U2 og U3, representerer vi også den valgte boksen.

Disse hendelsene utgjør en partisjon av S og det er verifisert at P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 siden valget av boksen er tilfeldig.

Hvis B = den ekstraherte ballen er hvit, vil vi ha P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Det vi ønsker å skaffe er sannsynligheten for at ballen ble tatt ut av esken. Ui visste at ballen var hvit, det vil si P (Ui | B), og se hvilken av de tre verdiene som var høyest å vite hvilken eske har mest sannsynlig utvinning av den hvite ballen.

Bruke Bayes-setningen til den første av boksene:

Og for de andre to:

P (U2 | B) = 2/6 og P (U3 | B) = 1/6.

Deretter er den første av boksene den som har en høyere sannsynlighet for å ha blitt valgt for utvinning av den hvite ballen.

referanser

  1. Kai Lai Chung Elementær Probability Theory med stokastiske prosesser. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematikk og dets applikasjoner. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Sannsynlighet og statistiske applikasjoner. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskret matematikk Løste problemer. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori og Problemer Problemer. McGraw-Hill.