Isometrisk transformasjonskomposisjon, typer og eksempler



den Isometriske transformasjoner de er endringer i posisjon eller orientering av en bestemt figur som ikke endrer verken form eller størrelse. Disse transformasjonene er klassifisert i tre typer: oversettelse, rotasjon og refleksjon (isometri). Generelt tillater geometriske transformasjoner å skape en ny figur fra en annen gitt.

En transformasjon i en geometrisk figur betyr at den på en eller annen måte var utsatt for noe forandring; det var at det var endret. Ifølge oppfinnelsens følelse og liknende i flyet kan geometriske transformasjoner klassifiseres i tre typer: isometrisk, isomorf og anamorf..

index

  • 1 Egenskaper
  • 2 typer
    • 2.1 Ved oversettelse
    • 2.2 Ved rotasjon
    • 2.3 Ved refleksjon eller symmetri
  • 3 Sammensetning
    • 3.1 Sammensetning av en oversettelse
    • 3.2 Sammensetning av en rotasjon
    • 3.3 Sammensetning av en symmetri
  • 4 referanser

funksjoner

Isometriske transformasjoner oppstår når størrelsene på segmentene og vinklene mellom den opprinnelige figuren og den transformerte en er konservert.

I denne typen transformasjon, endres ikke formen eller størrelsen på figuren (de er kongruente), det er bare en endring av posisjonen til figuren, enten i retning eller i retning. På denne måten vil de opprinnelige og endelige tallene være like og geometriske kongruente.

Isometri refererer til likestilling; det vil si at de geometriske figurene vil være isometriske hvis de har samme form og størrelse.

I de isometriske transformasjonene er det eneste som kan observeres en posisjonendring i flyet, en stiv bevegelse oppstår takket være figuren fra en startposisjon til en sluttposisjon. Denne figuren kalles homolog (lignende) av originalen.

Det er tre typer bevegelser som klassifiserer en isometrisk transformasjon: oversettelse, rotasjon og refleksjon eller symmetri.

typen

Ved oversettelse

Er de isometrene som tillater å flytte i en rett linje alle punkter i flyet i en gitt retning og avstand.

Når en figur forvandles ved oversettelse, endrer den ikke retningen i forhold til den opprinnelige posisjonen, og det mister heller ikke sine interne tiltak, målingene av vinkler og sider. Denne typen forskyvning er definert av tre parametere:

- En adresse, som kan være horisontal, vertikal eller skrå.

- En følelse, som kan være til venstre, høyre, opp eller ned.

- Avstand eller størrelse, som er lengden fra den opprinnelige posisjonen til enden av et punkt som beveger seg.

For en isometrisk transformasjon ved oversettelse skal oppfylles, må den oppfylle følgende betingelser:

- Figuren må alltid holde alle sine dimensjoner, både lineær og vinkel.

- Figuren endrer ikke posisjonen sin i forhold til den horisontale aksen; det vil si at vinkelen aldri varierer.

- Oversettelsene vil alltid bli oppsummert i ett, uavhengig av antall oversettelser som er gjort.

I et plan hvor senteret er et punkt O, med koordinater (0,0), er oversettelsen definert av en vektor T (a, b), som indikerer forskyvning av startpunktet. Det er:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

For eksempel, hvis en oversettelse T (-4, 7) blir brukt på koordinatpunktet P (8, -2), oppnår vi:

P (8,2) + T (-4,7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P'

I det følgende bildet (til venstre) kan man se hvordan punkt C flyttet til sammenfall med punkt D. Det gjorde det i vertikal retning, retningen var oppover og CD-avstanden eller størrelsen var 8 meter. På riktig bilde er oversettelsen av en trekant observert:

Ved rotasjon

De er de isometrene som lar figuren rotere alle punkter i et fly. Hvert punkt roterer etter en lysbue som har en konstant vinkel og et fast punkt (rotasjonssenter) bestemt.

Dvs., alle rotasjoner vil bli definert av sitt rotasjonssenter og rotasjonsvinkel. Når en figur forvandles ved rotasjon, holder den målingen av vinkler og sider.

Rotasjonen skjer i en bestemt retning, er positiv når rotasjonen er mot klokka (i motsetning til hvordan klokkens hender roterer) og negativ når rotasjonen er med urviseren.

Hvis et punkt (x, y) roteres med hensyn til opprinnelsen - det vil si at dets rotasjonssenter er (0,0) - i en vinkel på 90eller til 360eller Koordinatene til punktene vil være:

I tilfelle der rotasjonen ikke har noe senter ved opprinnelsen, må opprinnelsen til koordinatsystemet overføres til den nye oppgitte opprinnelsen for å kunne rotere figuren som har sin opprinnelse.

For eksempel, hvis punktet P (-5.2) er gitt en rotasjon på 90eller, rundt opprinnelsen og i positiv forstand vil de nye koordinatene være (-2,5).

Ved refleksjon eller symmetri

De er de forandringene som omverver punkter og figurer av flyet. Denne investeringen kan være med hensyn til et punkt, eller det kan også være med hensyn til en rett linje.

Med andre ord, i denne typen av behandling av hvert punkt av det opprinnelige figuren er forbundet med et annet punkt (bilde) av homolog figuren, slik at punktet og dets bilde er i samme avstand fra en linje som kalles symmetriaksen.

Dermed vil den venstre delen av figuren være en refleksjon av den høyre delen uten å endre form eller dimensjoner. Symmetrien forvandler en figur til en annen, om enn i motsatt retning, som det kan ses i følgende bilde:

Symmetri er tilstede i mange aspekter, som i enkelte planter (solsikker), dyr (påfugl) og naturfenomener (snøfinger). Mennesket reflekterer det på ansiktet, som regnes som en faktor for skjønnhet. Refleksjonen eller symmetrien kan være av to typer:

Sentral symmetri

Det er den transformasjonen som oppstår med hensyn til et punkt, hvor figuren kan forandre retningen. Hvert punkt på den opprinnelige figuren og dens bilde er i samme avstand fra et punkt O, kalt symmetriens midtpunkt. Symmetrien er sentral når:

- Både punktet og bildet og senteret tilhører samme linje.

- Med en rotasjon på 180eller sentrum O du får en tall som er lik originalet.

- Stroppene til den opprinnelige figuren er parallelle med strekkene til den dannede figuren.

- Følelsen av figuren endres ikke, det vil alltid være med klokken.

Denne transformasjonen skjer i forhold til symmetriaksen, hvor hvert punkt i den opprinnelige figuren er knyttet til et annet punkt i bildet, og disse er i samme avstand fra symmetriaksen. Symmetrien er aksial når:

- Segmentet som knytter seg til et punkt med bildet er vinkelrett på symmetriaksen.

- Tallene endrer retning med hensyn til sving eller med klokken.

- Når du deler figuren med en sentral linje (symmetriakse), matcher en av de resulterende halvdelene helt til en av halvdelene.

sammensetningen

En sammensetning av isometriske transformasjoner refererer til den påfølgende anvendelse av isometriske transformasjoner på samme figur.

Sammensetning av en oversettelse

Sammensetningen av to oversettelser resulterer i en annen oversettelse. Når du er ferdig på flyet, endres bare koordinatene til aksen på den horisontale akse (x), mens koordinatene til den vertikale akse (y) forblir de samme og omvendt.

Sammensetning av en rotasjon

Sammensetningen av to svinger med samme senter resulterer i en annen sving, som har samme senter og hvis amplitud vil være summen av amplitudene til de to svingene.

Hvis senterets sving har forskjellig senter, vil kuttet av bisectoren av to segmenter av tilsvarende punkter være sentrum for sving.

Sammensetning av en symmetri

I dette tilfellet vil sammensetningen avhenge av hvordan den brukes:

- Hvis den samme symmetrien blir brukt to ganger, blir resultatet en identitet.

- Hvis to symmetrier blir brukt med hensyn til to parallelle akser, vil resultatet bli en oversettelse, og forskyvningen er to ganger avstanden til disse aksene:

- Hvis to symmetrier blir brukt med hensyn til to akser som kuttes ved punktet O (midten), vil det oppnås en rotasjon med senter ved O, og vinkelen sin vil være to ganger vinkelen som dannes av aksene:

referanser

  1. V Burgués, J. F. (1988). Materialer å bygge geometri. Madrid: Syntese.
  2. Cesar Calavera, I.J. (2013). Teknisk tegning II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Fundamentals of Geometry Mexico: Limusa-Wiley.
  4. Coxford, A. (1971). Geometri En transformasjonsmetode. USA: Laidlaw Brothers.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Induksjon og formalisering i undervisningen av de stive transformasjonene i CABRI-miljøet.
  6. , P.J. (1996). Gruppen av fly isometrier. Madrid: Syntese.
  7. Suárez, A.C. (2010). Transformasjoner i flyet. Gurabo, Puerto Rico: AMCT .