Transformed Laplace-definisjon, historie, hva det er for, egenskaper



den forvandlet fra Laplace har vært de siste årene av stor betydning i studier av ingeniørfag, matematikk, fysikk, blant annet vitenskapelige områder, samt å ha stor interesse for teoretisk, gir en enkel måte å løse problemer som kommer fra vitenskap og ingeniørfag.

Opprinnelig ble Laplace-transformasjonen presentert av Pierre-Simon Laplace i studien hans om sannsynlighetsteorien, og ble først behandlet som et matematisk objekt av bare teoretisk interesse.

Gjeldende applikasjoner oppstår når ulike matematikere forsøkte å gi en formell begrunnelse til "operasjonsregler" brukt av Heaviside i studiet av ligninger av elektromagnetisk teori.

index

  • 1 Definisjon
    • 1.1 Eksempler
    • 1.2 Stilling (Tilstrekkelige forhold for eksistens)
    • 1.3 Laplace transformasjon av noen grunnleggende funksjoner
  • 2 historie
    • 2.1 1782, Laplace
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Egenskaper
    • 3.1 Linearitet
    • 3.2 Første oversettelsesteorem
    • 3.3 Andre oversettelse setning
    • 3.4 Skalaendring
    • 3,5 ransformering av Laplace av derivater
    • 3.6 Laplace transformasjon av integraler
    • 3,7 Multiplikasjon med tn
    • 3,8 divisjon med t
    • 3.9 Periodiske funksjoner
    • 3.10 Oppførsel av F (e) når s har en tendens til uendelig
  • 4 Inverse transformasjoner
    • 4.1 Øvelse
  • 5 Anvendelser av Laplace-transformasjonen
    • 5.1 Differensielle ligninger
    • 5.2 Systemer av differensialligninger
    • 5.3 Mekanikk og elektriske kretser
  • 6 Referanser

definisjon

La f være en funksjon definert for t ≥ 0. Laplace transformasjonen er definert som følger:

Det sies at Laplace Transform eksisterer dersom det forrige integralet konvergerer, ellers sies det at Laplace-transformasjonen ikke eksisterer.

Generelt, for å betegne den funksjonen man ønsker å forvandle, brukes små bokstaver og stor bokstav tilsvarer sin transformasjon. På denne måten har vi:

eksempler

Vurder den konstante funksjonen f (t) = 1. Vi har at dens transformasjon er:

Når integralet konvergerer, er det alltid gitt at s> 0. Ellers s < 0, la integral diverge.

La g (t) = t. Din Laplace-transformasjon er gitt av

Ved å integrere ved deler og vite at du-st det pleier å 0 når t har en tendens til uendelighet og s> 0, sammen med det forrige eksempelet har vi det:

Transformasjonen kan eller ikke eksisterer, for eksempel for funksjonen f (t) = 1 / t integralet som definerer sin Laplace-transformasjon, konvergerer ikke og derfor eksisterer ikke transformasjonen.

Tilstrekkelige forhold for å sikre at Laplace-transformasjonen av en funksjon f eksisterer, er at f er kontinuerlig i deler for t ≥ 0 og er av eksponentiell rekkefølge.

Det sies at en funksjon er kontinuerlig i deler for t ≥ 0, når for et hvilket som helst intervall [a, b] med a> 0, er det et begrenset antall poeng tk, hvor f har diskontinuiteter og er kontinuerlig i hver underinterval [tk-1,tk].

På den annen side er det sagt at en funksjon er av eksponentiell rekkefølge c hvis det er ekte konstanter M> 0, c og T> 0 slik at:

Som eksempler har vi det f (t) = t2 er av eksponentiell rekkefølge, siden | t2| < e3t for alle t> 0.

På en formell måte har vi følgende setning

Stilling (Tilstrekkelige forhold for eksistens)

Hvis f er en kontinuerlig funksjon per del for t> 0 og av eksponentiell rekkefølge c, er det Laplace-transformasjonen for s> c.

Det er viktig å fremheve at dette er en tilstand av sufficiency, det vil si at det kan være tilfelle at det er en funksjon som ikke oppfyller disse betingelsene, og selv da er Laplace-transformasjonen eksistert.

Et eksempel på dette er funksjonen f (t) = t-1/2 Det er ikke kontinuerlig i deler for t ≥ 0, men Laplace-transformasjonen eksisterer.

Laplace transformasjon av noen grunnleggende funksjoner

Tabellen nedenfor viser Laplace-transformasjonene til de vanligste funksjonene.

historie

Laplacetransformasjonen er oppkalt etter Pierre-Simon Laplace, franske matematikeren og teoretisk astronom som ble født i 1749 og døde i 1827. Hans berømmelse år var slik at han var kjent som Newton i Frankrike.

I 1744 viet Leonard Euler sine studier til integraler med skjemaet

som løsninger av vanlige differensialligninger, men raskt forlatt denne undersøkelsen. Senere, Joseph Louis Lagrange, som sterkt beundret Euler, undersøkte også denne typen integraler og relaterte dem til sannsynlighetsteorien.

1782, Laplace

I år 1782 begynte Laplace å studere disse integralene som løsninger på differensialligninger, og ifølge historikere bestemte han i 1785 å reformulere problemet, som senere fødte Laplace-transformasjonene slik de forstås i dag.

Etter å ha blitt introdusert i sannsynlighetsteoriområdet, var det av liten interesse for tidens forskere og ble bare sett på som en matematisk gjenstand av kun teoretisk interesse.

Oliver Heaviside

Det var på midten av det nittende århundre da den engelske ingeniøren Oliver Heaviside oppdaget at differensialoperatører kan behandles som algebraiske variabler, og gir dermed sin moderne applikasjon til Laplace-transformasjonene.

Oliver Unit var en fysiker, elektroingeniør og matematiker engelskmann født i 1850 og døde i London i 1925. Mens du prøver å løse differensialligninger tilføres vibrasjonsteori og studier ved hjelp av Laplace, begynte å forme moderne applikasjoner av Laplace-transformasjonene.

Resultatene som ble utgitt av Heaviside spredte seg raskt gjennom tidens vitenskapelige samfunn, men da arbeidet ikke var strenge, ble det raskt kritisert av mer tradisjonelle matematikere.

Nytten av Heavisides arbeid med å løse fysikkligninger gjorde imidlertid hans metoder populære hos fysikere og ingeniører.

Til tross for disse tilbakeslagene og etter noen tiår med mislykkede forsøk, kunne i begynnelsen av 1900-tallet en streng begrunnelse til de operative regler gitt av Heaviside bli gitt..

Disse forsøkene lønnet seg takket være blant annet matematikere som Bromwich, Carson, van der Pol..

egenskaper

Blant egenskapene til Laplace-transformasjonen skiller seg følgende ut:

linearitet

La c1 og c2 være konstanter og f (t) og g (t) -funksjoner hvis Laplace-transformasjoner er henholdsvis F (s) og G (s), da må vi:

På grunn av denne egenskapen sies det at Laplace-transformasjonen er en lineær operatør.

eksempel

Første oversettelse stelling

Hvis det skjer at:

Og 'a' er noe ekte tall, da:

eksempel

Som Laplace-transformasjonen av cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) så:

Andre oversettelsesteorem

om

deretter

eksempel

Hvis f (t) = t ^ 3, så F (s) = 6 / s ^ 4. Og derfor omformingen av

er G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Skalaendring

om

Og 'a' er et ikke-null ekte, vi må

eksempel

Siden transformasjonen av f (t) = sin (t) er F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), må den være

ransformering av Laplace av derivater

Hvis f, f ', f ", ..., f(N) er kontinuerlige for t ≥ 0 og er av eksponentiell rekkefølge og f(N)(t) er kontinuerlig i deler for t ≥ 0, da

Laplace transformasjon av integraler

om

deretter

Multiplikasjon med tn

Hvis vi må

deretter

Divisjon av t

Hvis vi må

deretter

Periodiske funksjoner

La f være en periodisk funksjon med perioden T> 0, det vil si f (t + T) = f (t), da

Oppførsel av F (e) når s har en tendens til uendelig

Hvis f er kontinuerlig i deler og eksponentiell rekkefølge og

deretter

Inverse transformasjoner

Når vi bruker Laplace-transformasjonen til en funksjon f (t), får vi F (s), som representerer den transformasjonen. På samme måte kan vi si at f (t) er den inverse Laplace-transformasjonen av F (s) og er skrevet som

Vi vet at Laplace-transformasjonene av f (t) = 1 og g (t) = t er F (s) = 1 / s og G (s) = 1 / s2 henholdsvis, derfor må vi

Noen vanlige inverse Laplace-transformasjoner er som følger

I tillegg er den inverse Laplace-transformasjonen lineær, det vil si det er oppfylt det

trening

finne

For å løse denne oppgaven må vi matche funksjonen F (s) med en av forrige tabell. I dette tilfellet, hvis vi tar n + 1 = 5 og bruker linearitetsegenskapen til den inverse transformen, multipliserer vi og deler med 4! får

For den andre inverse transformasjonen bruker vi partielle fraksjoner for å omskrive funksjonen F (s) og deretter egenskapen til lineariteten, å skaffe

Som vi kan se fra disse eksemplene, er det vanlig at funksjonen F (s) som vurderes, ikke er helt enig med noen av funksjonene som er gitt i tabellen. For disse tilfellene, som det er observert, er det nok å omskrive funksjonen til den har kommet til riktig form.

Applikasjoner av Laplace-transformasjonen

Differensialekvasjoner

Hovedapplikasjonen til Laplace-transformasjonene er å løse differensialligninger.

Ved å bruke egenskapen til transformasjonen av et derivat er det klart at

Og av n-1-derivatene evaluert ved t = 0.

Denne egenskapen gjør transformasjonen svært nyttig for å løse opprinnelig verdiproblemer der differensialligninger med konstante koeffisienter er involvert.

Følgende eksempler viser hvordan du bruker Laplace-transformasjonen til å løse differensialligninger.

Eksempel 1

Gitt følgende initialverdier problem

Bruk Laplace-transformasjonen for å finne løsningen.

Vi bruker Laplace-transformasjonen til hvert medlem av differensialligningen

For egenskapen til transformasjonen av et derivat vi har

Ved å utvikle alt uttrykket og ryddet, og vi er igjen

Ved hjelp av partielle fraksjoner å omskrive den høyre siden av ligningen vi oppnår

Endelig er målet vårt å finne en funksjon y (t) som tilfredsstiller differensialligningen. Ved å bruke den inverse Laplace-transformen gir vi resultatet

Eksempel 2

Løs

Som i det forrige tilfellet, bruker vi transformasjonen på begge sider av ligningen og separat term for term.

På denne måten har vi som resultat

Bytte med de angitte startverdiene og rydde Y (s)

Ved hjelp av enkle fraksjoner kan vi omskrive ligningen som følger

Og å bruke den inverse transformasjonen av Laplace gir oss som et resultat

I disse eksemplene kan man komme til feil konklusjon at denne metoden ikke er mye bedre enn de tradisjonelle metodene for å løse differensialligninger.

Fordelene som tilbys av Laplace-transformasjonen, er at det ikke er nødvendig å bruke parametervariasjon eller bekymre seg om de ulike tilfeller av den ubestemte koeffisientmetoden.

I tillegg til å løse problemer med innledende verdi ved denne metoden, bruker vi fra begynnelsen de opprinnelige forholdene, så det er ikke nødvendig å utføre andre beregninger for å finne den spesifikke løsningen.

Differensielle ligningssystemer

Laplace-transformasjonen kan også brukes til å finne løsninger på samtidige ordinære differensialligninger, slik det følgende eksempel viser.

eksempel

løse

Med startforholdene x (0) = 8 e og (0) = 3.

Hvis vi må

deretter

Løse resultater i oss

Og når du bruker Laplace inverse transformasjonen, har vi

Mekanikk og elektriske kretser

Laplace-transformasjonen har stor betydning i fysikk, har hovedsakelig applikasjoner for mekaniske og elektriske kretser.

En enkel elektrisk krets består av følgende elementer

En bryter, et batteri eller en kilde, en induktor, en motstand og en kondensator. Når bryteren er lukket, produseres en elektrisk strøm som er betegnet med i (t). Kondensatorladningen betegnes av q (t).

Ved Kirchhoffs andre lov må spenningen fra kilden E til den lukkede kretsen være lik summen av hver av spenningsfallene.

Den elektriske strømmen i (t) er relatert til ladningen q (t) i kondensatoren ved i = dq / dt. På den annen side er spenningsfallet definert i hver av elementene som følger:

Spenningsfallet i en motstand er iR = R (dq / dt)

Spenningsfallet i en induktor er L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Spenningsfallet i en kondensator er q / C

Med disse dataene og anvendelse av den andre Kirchhoff-loven til den lukkede enkle kretsen, oppnås en andre rekkefølge differensialligning som beskriver systemet og lar oss bestemme verdien av q (t).

eksempel

En spole, en kondensator og en motstand er koblet til et batteri E, som vist på figuren. Inductoren er av 2 henries, kondensatoren på 0,02 farads og motstanden på 16 onhm. På tidspunktet t = 0 er kretsen lukket. Finn lasten og strømmen når som helst t> 0 hvis E = 300 volt.

Vi har at differensialligningen som beskriver denne kretsen, er følgende

Hvor de opprinnelige betingelsene er q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Ved å bruke Laplace-transformen får vi det

Og rydde Q (t)

Deretter bruker vi den omvendte Laplace-transformasjonen vi har

referanser

  1. G. Holbrook, J. (1987). Laplace transformasjon for elektronikk ingeniører. Limusa.
  2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M.P. (2006). Differensialekvasjoner og Laplace-transformasjon med applikasjoner. Redaksjonell UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Differensialekvasjoner med applikasjoner og historiske notater. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M.R. (1991). Laplace Transforms. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M.R. (2008). Differensielle ligninger med problemer med verdier ved grensen. Cengage Learning Editores, S.A..