Trinomial av form x ^ 2 + bx + c (med eksempler)

Før du lærer å løse trinomial av formen x ^ 2 + bx + c, og selv før vi kjenner til begrepet trinomial, er det viktig å kjenne to viktige begrep; nemlig konseptene av monom og polynom. En monom er et uttrykk for typen a * xⁿ, hvor a er et rasjonelt tall, n er et naturlig tall og x er en variabel.

Et polynom er en lineær kombinasjon av monomeller av formen a_n* xⁿ+til_n-1* x^n-1+... + a₂* x²+til₁* x + a₀, hvor hver a_jeg, med i = 0, ..., n, er et rasjonelt tall, n er et naturlig tall og a_n er ikke-null. I dette tilfellet er det sagt at graden av polynomet er n.

Et polynom dannet av summen av bare to termer (to monomeller) av forskjellige grader, kalles binomial.

index

• 1 Trinomials
  • 1.1 Perfekt kvadratisk trinomial
• 2 Karakteristika av klasse 2 trinomier
  • 2.1 Perfekt firkant
  • 2.2 Løsningsmiddelformel
  • 2.3 Geometrisk tolkning
  • 2.4 Faktorering av trinomier
• 3 eksempler
  • 3.1 Eksempel 1
  • 3.2 Eksempel 2
• 4 referanser

trinomials

Et polynom som dannes av summen av bare tre termer (tre monomialer) av forskjellige grader, kalles en trinomial. Følgende er eksempler på trinomier:

• x³+x²+5x
• 2x⁴-x³+5
• x²+6x + 3

Det finnes flere typer trinomialer. Av disse fremhever det perfekte kvadratiske trinomialet.

Perfekt kvadratisk trinomial

En perfekt kvadratisk trinomial er resultatet av å heve en binomialkvadrat. For eksempel:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+y)²= 4x⁶+4x³y + y²
• (4x²-2y⁴)²= 16x⁴-16x²og⁴+4y⁸
• 1 / 16x²og⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1 / 4xy⁴)²-2 (1 / 4xy⁴) z + z²= (1 / 4xy⁴-z)²

Egenskaper av klasse 2 trinomier

Perfekt firkant

Generelt er et trinomial av skjemaets økse²+bx + c er et perfekt firkant hvis dets diskriminator er lik null; det vil si hvis b²-4ac = 0, siden i dette tilfellet vil det bare ha en rot og kan uttrykkes i form a (x-d)²= (√a (x-d))², hvor d er roten allerede nevnt.

En rott av et polynom er et tall hvor polynomet blir null; med andre ord et tall som, ved å erstatte det i x i uttrykket av polynomet, resulterer i null.

Løsningsmiddelformel

En generell formel for å beregne røttene til et polynom av den andre graden av form-aksen²+bx + c er formelen til resolveren, som sier at disse røttene er gitt av (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, hvor b²-4ac er kjent som diskriminanten og er vanligvis betegnet av Δ. Fra denne formelen følger det at øksen²+bx + c har:

- To forskjellige virkelige røtter hvis Δ> 0.

- En enkelt ekte rot hvis Δ = 0.

- Den har ingen ekte rot hvis Δ<0.

I det følgende vil vi bare vurdere trinomialene i skjemaet x²+bx + c, der klart c må være et nullnummer (ellers ville det være en binomial). Denne typen trinomialer har visse fordeler når de faktureres og opererer med dem.

Geometrisk tolkning

Geometrisk, trinometallet x²+bx + c er en parabola som åpner oppover og har toppunktet ved punktet (-b / 2, -b²/ 4 + c) av det kartesiske flyet fordi x²+bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Denne parabolen kutter Y-aksen ved punktet (0, c) og X-aksen på punktene (d₁,0) og (d)₂,0); da d₁ og d₂ de er tråderens røtter. Det kan hende at trinometalet har en enkelt rot d, i så fall er det eneste kuttet med X-aksen (d, 0).

Det kan også skje at trinometallet ikke har noen reelle røtter, i så fall vil det ikke kutte X-aksen når som helst.

For eksempel, x²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² er parabolen med vertex i (-3,0), som kutter Y-aksen i (0,9) og X-aksen i (-3,0).

Trinomial faktorisering

Et veldig nyttig verktøy når man arbeider med polynomer er factoring, som er å uttrykke et polynom som et produkt av faktorer. Generelt gitt et trinomial av formen x²+bx + c, hvis dette har to forskjellige røtter d₁ og d₂, det kan bli fakturert som (x-d)₁) (x-d)₂).

Hvis du bare har en rot d, kan du faktorere den som (x-d) (x-d) = (x-d)², og hvis den ikke har noen reelle røtter, er den igjen den samme; i dette tilfellet støtter det ikke en faktorisering som et produkt av andre faktorer enn seg selv.

Dette betyr at ved å kjenne røttene til et trinomial av den allerede etablerte formen, kan dens faktorisering lett uttrykkes, og som allerede nevnt, kan disse røttene alltid bestemmes ved hjelp av resolvent.

Imidlertid er det en betydelig mengde av denne typen trinomer som kan bli fakturert uten å måtte kjenne sine røtter på forhånd, noe som forenkler arbeidet.

Røttene kan bestemmes direkte fra faktoriseringen uten at man trenger å bruke formelen til resolveren; Dette er polynomene av skjemaet x² +(a + b) x + ab. I dette tilfellet har du:

x²+(a + b) x + ab = x²+akse + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Herfra er det lett observert at røttene er -a og -b.

Med andre ord, gitt et trinomial x²+bx + c, hvis det er to tall u og v slik at c = uv og b = u + v, deretter x²+bx + c = (x + u) (x + v).

Det er gitt et trinomial x²+bx + c, verifiser først om det er to tall slik at multiplisert den uavhengige termen (c) og lagt til (eller subtraheres, avhengig av saken), gi uttrykket som følger med x (b).

Ikke med alle trinomialer på denne måten kan denne metoden brukes; hvor du ikke kan, går du til resolvent og bruker ovennevnte.

eksempler

Eksempel 1

Å faktorere følgende trinomial x²+3x + 2 fortsetter vi som følger:

Du må finne to tall slik at når du legger til dem, er resultatet 3, og når du multipliserer dem, er resultatet 2.

Etter en inspeksjon kan det konkluderes med at tallene som er søkt er: 2 og 1. Derfor x²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Eksempel 2

Å faktorere trinomialet x²-5x + 6 vi ser etter to tall hvis sum er -5 og produktet er 6. Tallene som oppfyller disse to betingelsene er -3 og -2. Derfor er faktoriseringen av det givne trinomet x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

referanser

1. Kilder, A. (2016). Grunnleggende matematikk. En introduksjon til beregning. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematikk: kvadratiske ligninger: Hvordan løse en kvadratisk ligning. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematikk for administrasjon og økonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematikk 1 SEP. terskel.
5. Preciado, C. T. (2005). Matematikkfag 3o. Editorial Progreso.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra jeg er lett! Så lett. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Education.