Isosceles trekant funksjoner, formel og område, beregning



en ensidig trekant Det er en tresidet polygon, hvor to av dem har samme måling og den tredje siden har en annen måling. Denne siste siden heter base. På grunn av denne egenskapen ble det gitt dette navnet, som på gresk betyr "like ben"

Triangler er polygoner ansett for å være enkleste i geometri, fordi de er dannet av tre sider, tre vinkler og tre hjørner. De er de som har minst antall sider og vinkler i forhold til de andre polygonene, men bruken er svært omfattende.

index

  • 1 Kjennetegn ved ensidige trekanter
    • 1.1 Komponenter
  • 2 Egenskaper
    • 2.1 Innvendige vinkler
    • 2.2 Summen av sidene
    • 2.3 Kongruente sider
    • 2.4 Kongelige vinkler
    • 2,5 Høyde, median, bisektor og bisektor er sammenfaldende
    • 2.6 Relative høyder
    • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter sammenfaller
  • 3 Hvordan beregne omkretsen?
  • 4 Hvordan beregne høyden?
  • 5 Hvordan beregne området?
  • 6 Hvordan beregne basen av trekanten?
  • 7 øvelser
    • 7.1 Første øvelse
    • 7.2 Andre øvelser
    • 7.3 Tredje øvelse
  • 8 referanser

Kjennetegn på liknende triangler

Den enslige trekant ble klassifisert ved hjelp av måling av sidene som en parameter, siden to av sidene er kongruente (de har samme lengde).

I henhold til amplituden til de indre vinklene, er de enslige trekantene klassifisert som:

  • Rektangulær isosceles trekant: to av sidene er like. En av sine vinkler er rett (90eller) og de andre er de samme (45eller hver og en)
  • Isosceles stump vinkel triangel: to av sidene er like. En av sine vinkler er urokkelig (> 90eller).
  • Isosceles akutt vinklet trekant: to av sidene er like. Alle vinklene er skarpe (< 90eller), hvor to har samme mål.

komponenter

  • Medianen: er en linje som går fra midtpunktet til den ene siden og når motsatt vertex. De tre medianene samtykker på et punkt kalt sentroid eller centroid.
  • Bisektoren: er en stråle som deler vinkelen til hvert toppunkt i to vinkler av samme størrelse. Det er derfor det er kjent som symmetriaksen, og denne typen trekanter har bare en.
  • Mediatrixen: er et segment vinkelrett på siden av trekanten, som stammer i midten av dette. Det er tre medier i en trekant og de er enige om et punkt som heter circuncentro.
  • Høyden: er linjen som går fra toppunktet til siden som er motsatt, og også denne linjen er vinkelrett på den siden. Alle trekanter har tre høyder, som sammenfaller i et punkt som heter orthocenter.

egenskaper

Isosceles triangler er definert eller identifisert fordi de har flere egenskaper som representerer dem, stammer fra de teoremene foreslått av store matematikere:

Innvendige vinkler

Summen av de indre vinklene er alltid lik 180eller.

Summen av sidene

Summen av tiltakene på to sider må alltid være større enn målet på den tredje siden, a + b> c.

Kongruente sider

Isosceles triangler har to sider med samme mål eller lengde; det vil si de er kongruente og den tredje siden er forskjellig fra disse.

Kongruente vinkler

Isosceles triangler er også kjent som isovinkler trekanter, fordi de har to vinkler som har samme mål (kongruenter). Disse befinner seg på bunnen av trekanten, motsatt sidene som har samme lengde.

På grunn av dette, er setningen som fastslår at:

"Hvis en trekant har to kongruente sider, vil også vinklene overfor disse sidene være kongruente." Derfor, hvis en trekant er usammen, er vinklene til dens baser kongruente.

eksempel:

Følgende figur viser en trekant ABC. Ved å spore sin bisektor fra toppunktet fra vinkel B til basen, er trekantene delt inn i to trekanter lik BDA og BDC:

Dermed var vinkelen til toppunktet B også delt inn i to like vinkler. Bisektoren er nå siden (BD) felles mellom de to nye trekanter, mens sidene AB og BC er kongruente sider. Så du har tilfelle av kongruens side, vinkel, side (LAL).

Med at de viser at vinklene i hjørnene A og C har samme mål, så vel som kan demonstreres som BDA og BDC trekanter er kongruente, sidene AD og DC er også.

Høyde, median, bisektor og bisektor er sammenfallende

Linjen er trukket fra toppunktet på motsatt side av bunnen til midtpunktet av bunnen av likebent trekant, er både høyde, median og halveringslinjen, i tillegg til halveringslinjen på motsatt hjørne av basis.

Alle disse segmentene sammenfaller i en som representerer dem.

eksempel:

Følgende figur viser trekanten ABC med en midtpunkt M som deler basen i to segmenter BM og CM.

Når du tegner et segment fra punktet M til motsatt vertex, får du per definisjon median AM, som er i forhold til toppunktet A og BC-siden.

Som AM segmentet deler trekanten i to like trekanter ABC og AMB AMC, betyr det at når det gjelder kongruens side vinkel til siden, og derfor vil også være halveringslinjen AM BAC.

Derfor vil bisector alltid være lik medianen og omvendt.

AM-segmentet danner vinkler som har samme mål for AMB- og AMC-trekanterne; det vil si at de er supplerende på en slik måte at målingen av hver enkelt vil være:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180eller

2 * Med. (AMC) = 180eller

Med. (AMC) = 180eller ÷ 2

Med. (AMC) = 90eller

Det kan være kjent at vinklene dannet av AM-segmentet i forhold til bunnen av trekanten er rett, hvilket indikerer at dette segmentet er helt vinkelrett på basen.

Derfor representerer det høyden og bisektoren, og vet at M er midtpunktet.

Derfor den rette linjen AM:

  • Representerer høyden på BC.
  • Det er middels.
  • Det finnes i BCs mediatrix.
  • Det er bisektoren av toppunktvinkelen Â

Relative høyder

Høydene som er i forhold til like sider, har samme mål også.

Siden den enslige trekant har to like sider, vil de to respektive høydene også være like.

Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter sammenfaller

Som høyde, median halveringslinje halverer og på undersiden, er representert både av et enkelt segment, orthocenter, og tyngdepunkt incentro omskrevet være punkter som ligger på, dvs. at de var i samme linje:

Hvordan beregne omkretsen?

Omkretsen av et polygon er beregnet av summen av sidene.

Som i dette tilfellet har den enslige trekant to sider med samme mål, dens omkrets beregnes med følgende formel:

P = 2*(side a) + (side b).

Hvordan beregne høyden?

Høyden er linjen vinkelrett på basen, dividerer trekanten i to like deler ved å strekke seg til motsatt vertex.

Høyden representerer det motsatte benet (a), halvparten av bunnen (b / 2) til det tilstøtende beinet og "a" -siden representerer hypotenuseen.

Ved hjelp av Pythagorasetningen kan du bestemme verdien av høyden:

til2 + b2 = c2

der:

til2 = høyde (h).

b2 = b / 2.

c2 = side a.

Ved å erstatte disse verdiene i pythagorasetningen, og rydde høyden vi har:

h2 + (b / 2)2 = til2

h2 + b2 / 4 = til2

h2 = til2 - b2 / 4

h = √ (til2 - b2 / 4).

Hvis vinkelen dannet av kongruente sider er kjent, kan høyden beregnes med følgende formel:

Hvordan beregne området?

Arealet av trianglene beregnes alltid med samme formel, multiplisere basen etter høyde og dividere med to:

Det er tilfeller hvor bare målingene på to sider av trekanten og vinkelen som er dannet mellom dem er kjent. I dette tilfellet, for å bestemme området er det nødvendig å bruke trigonometriske forhold:

Hvordan beregne basen av trekanten?

Siden den ensomme trekant har to like sider, for å bestemme verdien av basen må man minst vite høyden eller en av sine vinkler.

Å vite høyden brukes Pythagorasetningen:

til2 + b2 = c2

der:

til2 = høyde (h).

c2 = side a.

b2 = b / 2, er ukjent.

Vi fjernet b2 av formelen og vi må:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Siden denne verdien tilsvarer halvparten av basen, må den multipliseres med to for å oppnå det komplette målet på basen av den ulige trekant:

b = 2 * (√ a2 - c2)

I tilfelle det er bare kjent verdi like sider og vinkelen mellom disse, blir trigonometri påføres ved å markere en linje fra toppen til bunnen som deler den likebente trekanten i to rettvinklede trekanter.

På denne måten beregnes halvparten av basen med:

Det er også mulig at kun verdien av høyden og vinkelen til toppunktet som er motsatt til basen er kjent. I så fall ved trigonometri kunne basen bestemmes:

trening

Første øvelse

Finn området til den enslige trekant ABC, ved å vite at to av sidene måler 10 cm og den tredje siden måler 12 cm.

oppløsning

For å finne området i trekanten er det nødvendig å beregne høyden ved hjelp av formelen for området som er relatert til Pythagorasetningen, siden verdien av vinkelen som dannes mellom like sider, ikke er kjent.

Vi har følgende data for den enslige trekant:

  • Lige sider (a) = 10 cm.
  • Base (b) = 12 cm.

Verdiene i formelen er erstattet:

Andre øvelse

Lengden på de to like sidene av en liket trekant måler 42 cm, foreningen av disse sidene danner en vinkel på 130eller. Bestem verdien av den tredje siden, arealet på den trekanten og omkretsen.

oppløsning

I dette tilfellet er målingene av sidene og vinkelen mellom disse kjent.

For å kjenne verdien av den manglende siden, det vil si basisen for den trekanten, trekkes en linje vinkelrett på den, idet vinkelen deles i to like deler, en for hver høyre trekant som dannes.

  • Lige sider (a) = 42 cm.
  • Vinkel ()) = 130eller

Nå ved trigonometri beregnes verdien av halvparten av basen, som tilsvarer halvparten av hypotenusen:

For å beregne området er det nødvendig å kjenne høyden på den trekanten som kan beregnes ved trigonometri eller ved pythagorasetningen, nå at verdien av basen allerede er bestemt.

Ved trigonometri vil det være:

Omkretsen beregnes:

P = 2*(side a) + (side b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tredje øvelsen

Beregn de indre vinklene til den ulige trekant ved å vite at vinkelen på basen er  = 55eller

oppløsning

For å finne de to manglende vinklene (Ê og Ô) er det nødvendig å huske to egenskaper av trekanten:

  • Summen av de indre vinklene til hver triangel vil alltid være = 180eller:

 + Ê + Ô = 180 eller

  • I en ensidig trekant er basisvinklene alltid kongruente, det vil si at de har samme mål, derfor:

 = Ô

Ê = 55eller

For å bestemme verdien av vinkelen Ê, erstatt verdiene til de andre vinklene i den første regelen og fjern Ê:

55eller + 55eller + Ô = 180 eller

110 eller + Ô = 180 eller

Ô = 180 eller - 110 eller

Ô = 70 eller.

referanser

  1. Álvarez, E. (2003). Elementer av geometri: med mange øvelser og geometri av kompasset. Universitetet i Medellin.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Teknisk tegning: aktiviteter notatbok.
  3. Angel, A. R. (2007). Elementær algebra Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
  6. José Jiménez, L.J. (2006). Matematikk 2.
  7. Tuma, J. (1998). Engineering Mathematics Handbook. Wolfram MathWorld.