Skala trekant funksjoner, formel og områder, beregning



en skalent trekant Det er en tresidet polygon, hvor alle har forskjellige målinger eller lengder; Derfor er det gitt navnet scalene, som på latin betyr klatring.

Triangler er polygoner ansett som den enkleste i geometri, fordi de er dannet tre sider, tre vinkler og tre hjørner. I tilfelle av skalentrekanten, fordi den har alle de forskjellige sidene, innebærer det at dens tre vinkler også vil være forskjellige..

index

  • 1 Egenskaper for scalene triangler
    • 1.1 Komponenter
  • 2 Egenskaper
    • 2.1 Innvendige vinkler
    • 2.2 Summen av sidene
    • 2.3 inkonsekvente sider
    • 2.4 Incongruente vinkler
    • 2,5 Høyde, median, bisektor og bisector er ikke sammenfallende
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter er ikke sammenfallende
    • 2.7 Relative høyder
  • 3 Hvordan beregne omkretsen?
  • 4 Hvordan beregne området?
  • 5 Hvordan beregne høyden?
  • 6 Hvordan beregne sidene?
  • 7 øvelser
    • 7.1 Første øvelse
    • 7.2 Andre øvelser
    • 7.3 Tredje øvelse
  • 8 referanser

Egenskaper av scalene triangler

Scalene trekanter er enkle polygoner, fordi ingen av dens sider eller vinkler har samme mål, i motsetning til likebenet og likesidet trekant.

Fordi alle sider og vinkler har forskjellige målinger, betraktes disse trekanter som uregelmessige konvekse polygoner.

I henhold til amplitude av de indre vinklene er skalentrianglene klassifisert som:

  • Skala rektangel trekant: alle sidene er forskjellige. En av sine vinkler er rett (90eller) og de andre er skarpe og med forskjellige tiltak.
  • Skala stump vinkeltrekant: alle sidene er forskjellige og en av sine vinkler er stump (> 90eller).
  • Skalaaksen vinkel trekant: alle sidene er forskjellige. Alle vinklene er skarpe (< 90eller), med ulike tiltak.

En annen egenskap for scalene triangler er at på grunn av uoverensstemmelse av deres sider og vinkler, har de ikke en symmetriakse.

komponenter

Medianen: er en linje som går fra midtpunktet til den ene siden og når motsatt vertex. De tre medianene samtykker på et punkt kalt sentroid eller centroid.

Bisektoren: er en stråle som deler hver vinkel i to vinkler av samme størrelse. Bivirkningene i en trekant er i samsvar med punktet kalt incentro.

Mediatrixen: er et segment vinkelrett på siden av trekanten, som stammer i midten av dette. Det er tre mediatriser i en trekant og er enig i et punkt som heter circumcenter.

Høyden: er linjen som går fra toppunktet til siden som er motsatt, og også denne linjen er vinkelrett på den siden. Alle trekanter har tre høyder som sammenfaller ved et punkt som kalles orthocenter.

egenskaper

Skala triangler er definert eller identifisert fordi de har flere egenskaper som representerer dem, stammer fra de teoremene foreslått av store matematikere. De er:

Innvendige vinkler

Summen av de indre vinklene er alltid lik 180eller.

Summen av sidene

Summen av tiltakene på to sider må alltid være større enn målet på den tredje siden, a + b> c.

Inkonsekvente sider

Alle sider av scalene triangler har forskjellige mål eller lengder; det vil si at de er inkongruøse.

Inkonsekvente vinkler

Siden alle sidene av scalene trekant er forskjellige, vil deres vinkler også være forskjellige. Imidlertid summen av vinklene vil alltid er lik 180, og i noen tilfeller en av dens vinkler være stumpe eller rett, mens i andre vinkler er alle akutte.

Høyde, median, bisector og bisector er ikke sammenfallende

Som alt trekant, har scalene flere linjesegmenter som komponerer det, som er: høy, middels og halverer mediatriz.

På grunn av sidens beskaffenhet vil ingen av disse linjene sammenfalle i denne typen trekant i en enkelt.

Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter er ikke sammenfallende

Som høyde, median halveringslinje halverer, og de er representert ved forskjellige linjesegmenter i en scalene trekant møtepunkter-orthocenter, og tyngdepunkt incentro circuncentro-, være plassert på forskjellige steder (umake).

Avhengig av om trekanten er akutt, rektangel eller scalene, har orthocenteret forskjellige steder:

a. Hvis trekanten er akutt, vil orthocenteret ligge inne i trekanten.

b. Hvis trekanten er et rektangel, vil orthocenteret falle sammen med toppunktet på den rette siden.

c. Hvis trekanten er stump, vil orthocenteret være på utsiden av trekanten.

Relative høyder

Høyde er i forhold til sidene.

I tilfelle av skalentrekanten vil disse høyde ha forskjellige målinger. Hver trekant har tre relative høyder og for å beregne dem brukes Herons formel.

Hvordan beregne omkretsen?

Omkretsen av et polygon er beregnet av summen av sidene.

Som i dette tilfellet har skalentrekanten alle sidene med forskjellig mål, dens omkrets vil være:

P = side a + side b + side c.

Hvordan beregne området?

Arealet av trianglene beregnes alltid med samme formel, multiplisere basen etter høyde og dividere med to:

Område = (base * h) ÷ 2

I noen tilfeller kan høyden av scalene trekanten er ikke kjent, men det er en formel som ble foreslått av matematikeren Heron, for å beregne arealet vite utstrekningen av de tre sider i en trekant.

der:

  • a, b og c, representerer sidene av trekanten.
  • sp, tilsvarer semipimeteret av trekanten, det vil si halvparten av omkretsen:

sp = (a + b + c) ÷ 2

I det tilfelle hvor bare langt to sider av trekanten, og vinkelen mellom disse er tatt, kan området beregnes ved hjelp av trigonometriske forhold. Så du må:

Område = (side * h) ÷ 2

Hvor høyden (h) er produktet av den ene siden av sinus av motsatt vinkel. For hver side vil for eksempel området være:

  • Areal = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Område = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Område = (a * b * sen C) ÷ 2

Hvordan beregne høyden?

Siden alle sidene av skalentrekanten er forskjellige, er det ikke mulig å beregne høyden med pythagorasetningen.

Fra formelen til Heron, som er basert på målinger av de tre sidene av en trekant, kan området beregnes.

Høyden kan ryddes av den generelle formelen av området:

Siden er erstattet av måling av side a, b eller c.

En annen måte å beregne høyden når verdien av en vinkel som er kjent, er å anvende trigonometriske forhold, hvor høyden vil representere et ben av triangelet.

For eksempel, når den motsatte vinkelen til høyden er kjent, vil den bli bestemt av sinusen:

Hvordan beregne sidene?

Når du har måling på to sider og vinkelen motsatt til disse, er det mulig å bestemme den tredje siden ved å bruke cosinosetningen.

For eksempel, i en trekant AB, er høyden i forhold til segmentet AC plottet. På den måten trekant er delt inn i to høyre trekanter.

For å beregne c-siden (segment AB), blir Pythagorasetningen brukt for hver trekant:

  • For den blå trekant må du:

c2 = h2 + m2

Som m = b - n, er den erstattet:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2 mrd + n2.

  • For den rosa trekanten må du:

h2 = a2 - n2

Den er erstattet i forrige ligning:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2 mrd + n2

c2 = a2 + b2 - 2BN.

Å vite at n = a * cos C, erstattes i forrige ligning og verdien av side c er oppnådd:

c2 = a2 + b2 - 2b* til * cos C.

Ved lov av kosiner kan sidene beregnes som:

  • til2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - den andre* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* til * cos C.

Det er tilfeller hvor målingene på sidene av trekanten ikke er kjent, men deres høyde og vinklene som dannes i kryssene. For å bestemme området i disse tilfellene er det nødvendig å anvende trigonometriske forhold.

Å kjenne vinkelen til en av dens hjørner, blir benene identifisert og det tilsvarende trigonometriske forholdet blir brukt:

For eksempel vil katet motsatt AB være vinkelen C, men ved siden av vinkelen A. Avhengig av hvilken side som tilsvarer høyden eller ben, blir den andre siden fjernet for å oppnå verdien av denne.

trening

Første øvelse

Beregn området og en høyde av skalentrekanten ABC, vel vitende om at sidene er:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

oppløsning

Som data er gitt målinger av de tre sidene av skalentrekanten.

Fordi du ikke har høydeverdien, kan du bestemme området ved å bruke Heron-formelen.

Først beregnes semiperimeteret:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nå erstattes verdiene i formelen for Heron:

Å kjenne området kan beregnes den relative høyden på side b. Fra den generelle formelen, fjerner du den har du:

Område = (side * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Andre øvelse

Gitt skalentrekanten ABC, hvis tiltak er:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Ved toppunktet B dannes en vinkel på 50 °. Beregn den relative høyden til siden c, omkretsen og arealet av den trekant.

oppløsning

I dette tilfellet har du tiltak av to sider. For å bestemme høyden er det nødvendig å beregne måling av den tredje siden.

Siden vinkelen overfor de givne sidene er gitt, er det mulig å anvende cosinusloven for å bestemme måling av AC-siden (b):

b2 = a2 + c2 - den andre*c * cos B

der:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50eller.

Dataene er erstattet:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482 025)

b2 = 367.985

b = √367.985

b = 19,18 m.

Som du allerede har verdien av de tre sidene, beregne omkretsen av den trekant:

P = side a + side b + side c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nå er det mulig å bestemme området ved å bruke Heron-formelen, men først må halvmåleren beregnes:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Målingene av sidene og semiperimeteret er erstattet i Heron-formelen:

Til slutt, å kjenne området, kan den relative høyden på side c beregnes. Fra den generelle formelen, rydde den, må du:

Område = (side * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Tredje øvelsen

I scalene-trianglen ABC måles b til 40 cm, siden c måler 22 cm, og i toppunktet A dannes en vinkel på 90eller. Beregn området for den trekanten.

oppløsning

I dette tilfellet er målingene av to sider av scalene-trianglen ABC gitt, så vel som vinkelen som dannes i toppunktet A.

For å bestemme området er det ikke nødvendig å beregne målet på siden a, siden gjennom trigonometriske forhold er vinkelen brukt for å finne den.

Siden den motsatte vinkelen til høyden er kjent, vil dette bli bestemt av produktet på den ene siden og vinkelen sinus.

Bytter i formelen av området må du:

  • Område = (side * h) ÷ 2
  • h = c * sen a

Areal = (b * c * sen A) ÷ 2

Areal = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Areal = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Areal = 880 cm2 ÷ 2

Areal = 440 cm2.

referanser

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Teknisk tegning: aktiviteter notatbok.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrier. CR-teknologi, .
  3. Angel, A. R. (2007). Elementær algebra Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Flat Euklidisk geometri. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Fundamentals of Geometry Mexico: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Elementær geometri for studenter. Cengage Learning.
  8. Harpe, P. d. (2000). Emner i Geometrisk Gruppeteori. University of Chicago Press.