Equilateral trekant funksjoner, egenskaper, formler og område



en liksidig trekant det er en polygon med tre sider, hvor alle er like; det vil si at de har samme mål. For det karakteristiske ble det gitt navnet til likeverdige (like sider).

Triangler er polygoner ansett som den enkleste i geometri, fordi de er dannet tre sider, tre vinkler og tre hjørner. I tilfelle av den like-sidige trekant, ved å ha like sider, innebærer at dens tre vinkler også vil være.

index

  • 1 Egenskaper for like-sidige trekanter
    • 1.1 like sider
    • 1.2 komponenter
  • 2 Egenskaper
    • 2.1 Interne vinkler
    • 2.2 Eksterne vinkler
    • 2.3 Summen av sidene
    • 2.4 Kongruente sider
    • 2,5 kongruente vinkler
    • 2.6 Bisektoren, medianen og mediatrisen er sammenfaldende
    • 2.7 Bisektoren og høyden er sammenfaldende
    • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter sammenfaller
  • 3 Hvordan beregne omkretsen?
  • 4 Hvordan beregne høyden?
  • 5 Hvordan beregne sidene?
  • 6 Hvordan beregne området?
  • 7 øvelser
    • 7.1 Første øvelse
    • 7.2 Andre øvelser
    • 7.3 Tredje øvelse
  • 8 referanser

Egenskaper for like-sidige trekanter

Like sider

De liksidige trekanter er flate og lukkede figurer, bestående av tre segmenter av rette linjer. Triangler er klassifisert etter deres egenskaper, i forhold til deres sider og vinkler; den likesidige ble klassifisert ved hjelp av måling av sidene som en parameter, siden disse er nøyaktig de samme, det vil si de er kongruente.

Den like-sidige trekant er et spesielt tilfelle av den ulige trekant fordi to av sidene er kongruente. Derfor er alle like-sidige trekanter likevel ensomme, men ikke alle enslige trekantene vil være liksidige.

På denne måten har de liksidige trekanter de samme egenskapene til en likemessig trekant.

Likesidede trekanter kan også klassifiseres etter amplituden innvendig vinkel som acutángulo likesidet trekant, som har tre sider og tre indre vinkler med samme mål. Vinklene vil være skarpe, det vil si at de vil være mindre enn 90eller.

komponenter

Triangler generelt har flere linjer og poeng som komponerer det. De er vant til å beregne området, sider, vinkler, median, bisektor, vinkelrett og høyde.

  • Medianen: er en linje som går fra midtpunktet til den ene siden og når motsatt vertex. De tre medianene samtykker på et punkt kalt sentroid eller centroid.
  • Bisektoren: er en stråle som deler vinkelen av vinklene i to vinkler av samme størrelse, det er derfor det er kjent som symmetriaksen. Den liksidige trekant har tre symmetriakser.

I den like-sidige trekant trekkes bisektoren fra toppunktet av en vinkel til motsatt side, kutter den ved midtpunktet. Disse samstemmende punktene kalles incentro.

  • Mediatrixen: er et segment vinkelrett på siden av trekanten som stammer i midten av dette. Det er tre medier i en trekant og de er enige om et punkt som heter circuncentro.
  • Høyden: er linjen som går fra toppunktet til siden som er motsatt, og også denne linjen er vinkelrett på den siden. Alle trekanter har tre høyder som sammenfaller ved et punkt som kalles orthocenter.

egenskaper

Den viktigste egenskap av likesidede trekanter, vil det alltid være likebente trekanter, fordi likebenet er dannet av to kongruente likesidede sider og tre.

På den måten arvede de like-sidige trekanter alle egenskapene til den enslige trekant:

Innvendige vinkler

Summen av de indre vinklene er alltid lik 180eller, og siden alle vinklene er kongruente, vil hver av disse måle 60eller.

Eksterne vinkler

Summen av de eksterne vinklene vil alltid være lik 360eller, derfor må hver utvendig vinkel måle 120eller. Dette skyldes at de indre og eksterne vinklene er supplerende, det vil si at å legge dem alltid vil være lik 180eller.

Summen av sidene

Summen av tiltakene på to sider må alltid være større enn målepunktet på den tredje siden, det vil si a + b> c, hvor a, b og c er målingene på hver side.

Kongruente sider

Liksidige trekanter har sine tre sider med samme mål eller lengde; det vil si, de er kongruente. Derfor har vi i det forrige elementet a = b = c.

Kongruente vinkler

Liksidige trekanter er også kjent som ekviangulære trekanter, fordi deres tre indre vinkler er kongruente med hverandre. Dette skyldes at alle sidene også har samme mål.

Bisektoren, medianen og mediatrisen er sammenfaldende

Bisektoren deler siden av en trekant i to deler. Likesidede trekanter på denne side, vil bli delt opp i to nøyaktig like deler, dvs. trekanten vil bli delt opp i to trekanter kongruente.

Således faller bisektoren trukket fra hvilken som helst vinkel av en like-sidig trekant sammen med medianen og bisektoren på den motsatte side av den vinkelen.

eksempel:

Følgende figur viser trekanten ABC med et midtpunkt D som deler en av sidene i to segmenter AD og BD.

Når du tegner en linje fra punkt D til motsatt vertex, får du per definisjon median-CDen, som er i forhold til vertex C og AB-siden.

Som delen CD skiller trekanten ABC i to trekanter lik CDA og CDB, betyr at når det gjelder kongruens vil: side vinkel side, og derfor vil også CD normalen BCD.

Når du tegner CD-segmentet, deler du vertexvinkelen i to like vinkler på 30eller, vinkelen på toppunkt A fortsetter å måle 60eller og den rette CD danner en vinkel på 90eller med hensyn til midtpunktet D.

Segment-CDen danner vinkler som har samme mål for trianglene ADC og BDC, det vil si at de er supplerende på en slik måte at måling av hver enkelt vil være:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180eller

2 * Med. (ADC) = 180eller

Med. (ADC) = 180eller ÷ 2

Med. (ADC) = 90eller.

Og så har du at CD-segmentet også er bisektoren på AB-siden.

Bisektoren og høyden er sammenfallende

Når du trekker bisektoren fra toppunktet av en vinkel til midtpunktet på motsatt side, deler den likeverdige trekant inn i to kongruente trekanter.

På en slik måte dannes en vinkel på 90eller (Hetero). Dette indikerer at dette linjesegmentet er helt vinkelrett på den siden, og per definisjon vil linjen være høyden.

På denne måten faller bisektoren av en hvilken som helst vinkel på en like-sidig trekant sammen med den relative høyden på motsatt side av den vinkelen.

Orthocenter, barycenter, incenter og circumcenter sammenfaller

Som høyde, medium, og halveringslinje halverer er representert både ved den samme segment, i et likesidet møtepunktene av disse segmentene-orthocenter, sentroide, incenter og circuncentro- trekant, var i samme punkt:

Hvordan beregne omkretsen?

Omkretsen av et polygon er beregnet av summen av sidene. Siden i dette tilfellet har den like-sidige trekant alle sine sider med samme mål, er dens omkrets beregnet med følgende formel:

P = 3 * side.

Hvordan beregne høyden?

Siden høyden er linjen vinkelrett på basen, deler den den i to like deler ved å strekke seg til motsatt vertex. Dermed dannes to like rette trekanter.

Høyden (h) representerer den motsatte side (a), halvparten av sidekretsen til den tilstøtende siden (b) og siden BC representerer hypotenusen (c).

Ved hjelp av Pythagorasetningen kan du bestemme verdien av høyden:

til2 + b2= c2

der:

til2 = høyde (h).

b2 = side b / 2.

c2 = side a.

Ved å erstatte disse verdiene i pythagorasetningen, og rydde høyden vi har:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 +  l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2/4

√h2 = √ (3*l2/4)

Hvis vinkelen dannet av kongruente sider er kjent, kan høyden (representert ved et ben) beregnes ved å anvende trigonometriske forhold.

Bena kalles motsatt eller tilstøtende avhengig av vinkelen tatt som referanse.

For eksempel, i den foregående figur vil katetret h være motsatt for vinkelen C, men ved siden av vinkelen B:

Dermed kan høyden beregnes med:

Hvordan beregne sidene?

Det er tilfeller der målingene på sidene av trekanten ikke er kjent, men deres høyde og vinklene som dannes i toppene.

For å bestemme området i disse tilfellene er det nødvendig å anvende trigonometriske forhold.

Å kjenne vinkelen til en av dens hjørner, blir benene identifisert og det tilsvarende trigonometriske forholdet blir brukt:

Dermed vil kateten AB være motsatt av vinkelen C, men ved siden av vinkelen A. Avhengig side eller tilsvarer høyden ben, er den andre side fjernet for å oppnå verdien av dette, og vite at i en likesidet trekant tre sider vil alltid ha samme størrelse.

Hvordan beregne området?

Arealet av trianglene beregnes alltid med samme formel, multiplisere basen etter høyde og dividere med to:

Areal = (b * h) ÷ 2

Å vite at høyden er gitt av formelen:

trening

Første øvelse

Sidene av en liksidig trekant ABC måler 20 cm hver. Beregn høyden og arealet av det polygonet.

oppløsning

For å bestemme området for den likesidige trekant er det nødvendig å beregne høyden, å vite at når den tegnes, deler den trekant i to like rette trekanter.

På den måten kan Pythagorasetningen brukes til å finne den:

til2 + b2= c2

der:

a = 20/2 = 10 cm.

b = høyde.

c = 20 cm.

Dataene i teoremet er erstattet:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400-100) cm

b2 = 300cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Det vil si at høyden på trekanten er lik 17,32 cm. Nå er det mulig å beregne området for den angitte trekant ved å erstatte i formelen:

Areal = (b * h) ÷ 2

Areal = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2

Areal = 346,40 cm2 ÷ 2

Areal = 173,20 cm2.

En annen enklere måte å løse øvelsen på er å erstatte dataene i den direkte formelen til området, hvor verdien av høyden også er implisitt:

Andre øvelse

I et land som har en like-sidig trekantform, blir blomster plantet. Hvis omkretsen av dette landet er lik 450 meter, beregne antall kvadratmeter okkupert av blomstene.

oppløsning

Å vite at omkretsen av en trekant er summen av sine tre sider, og som i første har en likesidet trekant, vil tre sider av denne ha samme utstrekning eller lengde:

P = side + side + side = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Nå er det bare nødvendig å beregne høyden på den trekant.

Høyden deler trekantene i to kongruente høyre trekanter, hvor en av bena representerer høyde og den andre halvdelen av basen. Ved pythagorasetningen kan høyden bestemmes:

til2 + b2= c2

der:

til = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = høyde

Dataene i teoremet er erstattet:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5,625 m + b2 = 22 500 m

b2 = 22 500 m - 5 625 m

b2 = 16.875 m

b = √16.875 m

b = 129,90 m.

Så området som vil okkupere blomstene vil være:

Areal = b * h ÷ 2

Areal = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Areal = (19.485 m2) ÷ 2

Areal = 9.742,5 m2

Tredje øvelsen

Den liksidige trekant ABC er delt med et linjesegment som går fra toppunktet C til midtpunktet D, som ligger på motsatt side (AB). Dette segmentet måler 62 meter. Beregn området og omkretsen av den likesidige trekant.

oppløsning

Å vite at likesidet trekant er delt av et linjesegment som tilsvarer høyden, for således å danne to kongruente rettvinklede trekanter, som i sin tur også deler toppvinkelen C ved to vinkler med det samme mål, 30eller hver og en.

Høyden danner en vinkel på 90eller med hensyn til segmentet AB, og vinkelen på toppunktet A vil da måle 60eller.

Deretter bruker du som referanse vinkelen på 30eller, høyde-CDen er opprettet som et ben som ligger ved siden av vinkelen og BC som hypotenuse.

Fra disse dataene kan verdien av en av sidene av trekanten bestemmes ved å bruke trigonometriske forhold:

Som i den liksidige trekant har alle sider nøyaktig samme mål eller lengde, det betyr at hver side av den liksidige trekant ABC er lik 71,6 meter. Å vite at det er mulig å bestemme ditt område:

Areal = b * h ÷ 2

Areal = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Areal = 4,438,6 m2 ÷ 2

Areal = 2.219,3 m2

Omkretsen er gitt av summen av sine tre sider:

P = side + side + side = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

referanser

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Teknisk tegning: aktiviteter notatbok.
  2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Flat Euklidisk geometri. SBM. Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometri En transformasjonsmetode. USA: Laidlaw Brothers.
  6. Euclid, R. P. (1886). Euclids Elementer av geometri.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometri og trigonometri.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Integrert geometri Metropolitan Technological Institute.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri Pearson Education.