Axiomatisk metodefunksjoner, trinn, eksempler



den aksiomatisk metode eller også kalt aksiomatisk er en formell prosedyre som brukes av vitenskap hvorved formulert opplysninger påstander kalt gullkorn, er forbundet ved et forhold på derivability og er grunnlaget for de forutsetninger eller betingelser for et visst system.

Denne generelle definisjonen må utformes innenfor utviklingen som denne metoden har hatt gjennom historien. Først er det en gammel metode eller innhold, født i det antikke Hellas fra Euclid og senere utviklet av Aristoteles.

For det andre, allerede i det nittende århundre, utseendet av en geometri med aksiomer som er forskjellig fra Euclids. Og til slutt, den formelle eller moderne aksiomatiske metoden, hvis maksimale eksponent var David Hilbert.

Utover sin utvikling over tid har denne prosedyren vært grunnlaget for deduktive metoden som brukes i geometrien og logikken der den oppsto. Det har også blitt brukt i fysikk, kjemi og biologi.

Og det har også blitt brukt til juridisk vitenskap, sosiologi og politisk økonomi. Men for øyeblikket er dets viktigste anvendelsesområde matematikk og symbolsk logikk og enkelte grener av fysikk som termodynamikk, mekanikk, blant andre disipliner.

index

  • 1 Egenskaper 
    • 1.1 Gamle aksiomatiske metode eller innhold 
    • 1.2 Ikke-euklidisk aksiomatisk metode
    • 1.3 Moderne eller formelle aksiomatiske metode
  • 2 trinn 
  • 3 eksempler
  • 4 referanser

funksjoner

Selv om den grunnleggende egenskapen til denne metoden er formuleringen av aksiomer, har disse ikke alltid vært vurdert på samme måte.

Det er noen som kan defineres og konstrueres på en vilkårlig måte. Og andre, ifølge en modell der den intuitivt garanterte sannheten vurderes.

For å forstå spesifikt hva denne forskjellen består av og dens konsekvenser, er det nødvendig å se gjennom utviklingen av denne metoden.

Gammel aksiomatisk metode eller innhold 

Det er den som ble etablert i det antikke Hellas rundt 5. århundre f.Kr. Anvendelsesområdet er geometri. Den banebrytende arbeid i denne fasen er Euklids Elementer, selv om det regnes som før ham, Pythagoras, og hadde gitt fødsel til aksiomatiske metode.

Således tar grekerne visse fakta som aksiomer, uten å kreve noe logisk bevis, det vil si uten behov for demonstrasjon, siden de er en selvsagt sannhet for dem.

Euclides presenterer for sin del fem aksiomer for geometri:

1-Gitt to poeng er det en linje som inneholder eller lenker dem.

2-Alle segmenter kan fortsette kontinuerlig på en ubegrenset linje på begge sider.

3-Du kan tegne en sirkel som har et senter på et hvilket som helst punkt og en hvilken som helst radius.

4-Høyden er alle de samme.

5-tar noen rett linje, og et hvilket som helst punkt ikke i det, er det en linje parallell med linjen og som inneholdt ved dette punkt. Dette aksiom er kjent, da, som det aksiom parallelle og har også vært angitt som: ved et punkt utenfor en linje kan trekkes en enkelt parallell.

Men både Euclid og senere matematikere er enige om at den femte aksiom er ikke like intuitivt klart som de andre 4. Selv under renessansen prøver å utlede den femte av de andre fire, men det er ikke mulig.

Dette gjorde det allerede i det nittende århundre, de som vedlikeholdt de fem var tilhengere av euklidisk geometri og de som nektet den femte, var de som skapte de ikke-euklidiske geometrier.

Ikke-euklidisk aksiomatisk metode

Det er nettopp Nikolai Ivanovitsj Lobachevsky, Bolyai János og Johann Karl Friedrich Gauss som ser muligheten for bygningen, uten selvmotsigelse, en geometri som kommer fra andre enn de aksiomer i Euclid systemer. Dette ødelegger troen på absolutte sannhet eller a priori av aksiomer og teorier som stammer fra dem.

Derfor begynner aksiomene å bli oppfattet som utgangspunkt for en gitt teori. Også både deres valg og problemet med deres gyldighet på en eller annen måte, begynner å forholde seg til fakta utenfor den aksiomatiske teorien.

På denne måten vises geometriske, algebraiske og aritmetiske teorier konstruert ved hjelp av den aksiomatiske metoden.

Dette trinn avsluttes med etableringen av systemer for aritmetisk aksiomatisk som Giuseppe Peano i 1891; geometrien av David Hubert i 1899; uttalelser og beregninger av predikater Alfred North Whitehead og Bertrand Russell i England i 1910, aksiomatisk mengdelære av Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo i 1908.

Moderne eller formell aksiomatisk metode

Det er David Hubert som initierer oppfatningen av en formell aksiomatisk metode, og det fører til kulminasjonen, David Hilbert.

Det er nettopp Hilbert som formaliserer vitenskapelig språk, vurderer sine uttalelser som formler eller sekvenser av tegn som ikke har noen mening i seg selv. De får kun mening i en bestemt tolkning.

I "Grunnleggende om geometri"Forklarer det første eksemplet på denne metoden. Herfra blir geometrien en vitenskap av rene logiske konsekvenser, som hentes fra et system av hypoteser eller aksiomer, bedre artikulert enn det euklidiske systemet.

Dette skyldes at i det gamle systemet er den aksiomatiske teorien basert på bevisene for aksiomene. Mens grunnlaget for formell teori er gitt ved demonstrasjon av ikke-motsetningen til dets aksiomer.

trinn

Prosedyren som utfører en aksiomatisk strukturering innenfor de vitenskapelige teoriene, gjenkjenner:

a-valget av et bestemt antall aksiomer, det vil si en rekke forslag til en bestemt teori som er akseptert uten å bli demonstrert.

b-konseptene som er en del av disse proposisjonene, er ikke bestemt innenfor rammen av den oppgitte teorien.

c-reglene for definisjon og fradrag av den oppgitte teorien er faste og tillater å innføre nye begreper innenfor teorien og logisk utlede noen forslag fra andre.

d-de andre proposisjonene til teorien, det vil si teorien, er utledet av en på grunnlag av c.

eksempler

Denne metoden kan verifiseres ved demonstrasjon av de to mest kjente Euclid-teoremene: legetormen og høydestolen..

Begge stammer fra observasjonen av dette greske geometeret at når høyden er plottet i forhold til hypotenusen i en høyre trekant, vises to trekanter mer enn originalen. Disse trekantene ligner på hverandre og ligner samtidig opprinnelsestrekanten. Dette forutsetter at deres respektive homologe sider er proporsjonale.

Det kan ses at kongruente vinkler i trekantene på denne måten verifiserer likheten som eksisterer mellom de tre trekantene som er involvert i henhold til AAA-likhetskriteriet. Dette kriteriet gjelder at når to trekanter har alle sine like vinkler, er de like.

Når trianglene er vist som liknende, kan proporsjonene angitt i første teorem etableres. Det står at i en riktig trekant er måling av hvert katetus et geometrisk proporsjonalt middel mellom hypotenusen og fremspringet av kateteret i den..

Den andre teormen er høyden. Det angir at en hvilken som helst riktig trekant er høyden som er trukket i henhold til hypotenusen et geometrisk proporsjonalt middel mellom segmentene som bestemmes av det geometriske gjennomsnittet på hypotenuseen.

Selvfølgelig har begge teoriene mange anvendelser over hele verden, ikke bare innen utdanning, men også i ingeniørfag, fysikk, kjemi og astronomi.

referanser

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, formalisme og intuisjon: David Hilbert og den formelle aksiomatiske metoden (1895-1905). Filosofi Magazine, Vol. 39 Núm. 2, s. 121-146. Tatt fra revistas.ucm.es.
  2. Hilbert, David. (1918) Axiomatisk tanke. I W.Ewald, redaktør, fra Kant til Hilbert: en kildebok i grunnlaget for matematikk. Volum II, s. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Hva er den aksiomatiske metoden? Synthese, november 2011, volum 189, s. 69-85. Hentet fra link.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Introduksjon til dagens moderne filosofi. (Pp.48-49). Hentet fra books.google.com.ar.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Den aksiomatiske metoden, ved lesing av Ricardo Nirenberg, Fall 1996, Universitetet i Albany, Project Renaissance. Tatt fra Albany.edu.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert mellom formell og informell side av matematikk. Manuskript vol. 38 nr. 2, Campinas juli / august 2015. hentet fra scielo.br.