Lineær interpoleringsmetode, løste øvelser



den lineær interpolering er en metode som stammer fra den generelle interpoleringen av Newton og gjør det mulig å bestemme ved tilnærming en ukjent verdi som er mellom to gitt tall; det vil si at det er en mellomverdi. Det brukes også til omtrentlige funksjoner, hvor verdiene f(A) og f(B) de er kjent og du vil vite mellomproduktet av f(X).

Det finnes forskjellige typer interpolering, for eksempel lineære, kvadratiske, kubiske og høyere karakterer, det enkleste er den lineære tilnærmingen. Prisen som må betales med lineær interpolasjon er at resultatet ikke vil være like nøyaktig som med tilnærminger ved funksjoner av høyere karakterer.

index

  • 1 Definisjon
  • 2 Metode
  • 3 Øvelser løst
    • 3.1 Øvelse 1
    • 3.2 Øvelse 2
  • 4 referanser

definisjon

Linjær interpolering er en prosess som lar deg avlede en verdi mellom to veldefinerte verdier, som kan være i et bord eller i en lineær graf.

Hvis du for eksempel vet at 3 liter melk er verdt $ 4 og at 5 liter er verdt $ 7, men du vil vite hva er verdien av 4 liter melk, interpolert for å bestemme at mellomverdien.

metode

For å estimere en mellomverdien av en funksjon, er funksjonen f tilnærmet(X) ved hjelp av en rett linje r(X), som betyr at funksjonen varierer lineært med "x" for strekk "x = a" og "x = b"; det vil si for en "x" -verdi i intervallet (x0, x1) og (og0, og1), er verdien av "y" gitt av linjen mellom punktene og uttrykkes av følgende forhold:

(og - og0) ÷ (x - x0) = (og1 - og0) ÷ (x1 - x0)

For at en interpolering skal være lineær, er det nødvendig at interpolasjonspolynomet er av grad ett (n = 1), slik at det justerer seg til verdiene til x0 og x1.

Den lineære interpoleringen er basert på trekanters likhet, slik at det kan dannes geometrisk fra det foregående uttrykket, vi kan få verdien av "y", som representerer den ukjente verdien for "x".

På den måten må du:

a = tan = = (motsatt side1 ÷ tilstøtende ben1) = (motsatt side2 ÷ tilstøtende ben2)

Uttrykt på en annen måte er det:

(og - og0) ÷ (x - x0) = (og1 - og0) ÷ (x1 - x0)

Rydding "og" av uttrykkene, har du:

(og - og0) * (x1 - x0) = (x - x0) * (og1 - og0)

(og - og0) = (og1 - og0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Dermed får vi den generelle ligningen for lineær interpolering:

y = y0 + (og1 - og0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Generelt gir lineær interpolering en liten feil over den virkelige verdien av den sanne funksjonen, selv om feilen er minimal sammenlignet med at du intuitivt velger et nummer nær det du vil finne.

Denne feilen oppstår når du prøver å tilnærme verdien av en kurve med en rett linje; For de tilfellene må intervallets størrelse reduseres for å gjøre tilnærmingen mer presis.

For bedre resultater med hensyn til tilnærmingen, anbefales det å bruke klasse 2, 3 eller enda høyere klasse funksjoner for å utføre interpoleringen. For disse tilfellene er Taylorsetningen et veldig nyttig verktøy.

Løste oppgaver

Øvelse 1

Antall bakterier per volumvolum som finnes i en inkubasjon etter x timer, presenteres i følgende tabell. Du vil vite hva er volumet av bakterier for tiden på 3,5 timer.

oppløsning

Referansetabellen oppretter ikke en verdi som angir mengden bakterier i en tid på 3,5 timer, men har høyere og lavere verdier som tilsvarer en tid på henholdsvis 3 og 4 timer. På den måten:

x0 = 3 og0 = 91

x = 3,5 y =?

x1 = 4 og1 = 135

Nå blir den matematiske ligningen brukt for å finne den interpolerte verdien, som er følgende:

y = y0 + (og1 - og0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)].

Deretter erstattes tilsvarende verdier:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0.5

y = 113.

Således er det oppnådd at mengden av bakterier i en tid på 3,5 timer er 113, hvilket representerer et mellomliggende nivå mellom volumet av bakterier som eksisterer i tiden 3 og 4 timer.

Øvelse 2

Luis har en isfabrik, og han vil gjøre en undersøkelse for å bestemme inntektene han hadde i august fra utgiftene som ble gjort. Lederen i selskapet lager en graf som uttrykker dette forholdet, men Luis vil vite:

Hva er inntektene for august, hvis en utgift på $ 55.000 ble gjort??

oppløsning

En graf er gitt med verdien av inntekter og utgifter. Luis ønsker å vite hva augustinntektene er hvis fabrikken hadde en kostnad på $ 55.000. Denne verdien reflekteres ikke direkte i grafen, men verdiene høyere og lavere enn dette er.

Først blir det laget et bord der man enkelt skal forholde verdiene:

Nå brukes interpoleringsformelen til å bestemme verdien av y

y = y0 + (og1 - og0) * [(x - x0) ÷ (x1 - x0)]

Deretter erstattes tilsvarende verdier:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) * [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56 000 + (22 000) * [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56 000 + (22 000) * (0,588)

y = 56.000 + 12.936

y = $ 68,936.

Hvis en utgift på $ 55.000 ble gjort i august, var inntektene $ 68.936.

referanser

  1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  2. Harpe, P. d. (2000). Emner i Geometrisk Gruppeteori. University of Chicago Press.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Lineær interpolering ", Encyclopedia of Mathematics.
  4. , J. M. (1998). Elementer av numeriske metoder for engineering. UASLP.
  5. , E. (2002). En kronologisk interpolasjon: fra gammel astronomi til moderne signal og bildebehandling. Forhandlinger av IEEE.
  6. numerisk, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.