Vector Algebra Basics, Magnitudes, Vectors



den vektor algebra er en gren av matematikk som er ansvarlig for å studere systemer av lineære ligninger, vektorer, matriser, vektorrom og deres lineære transformasjoner. Det er relatert til områder som engineering, løsning av differensialligninger, funksjonsanalyse, operasjonsforskning, datagrafikk, blant annet..

Et annet område som er tatt i bruk den lineære algebra er fysisk, for gjennom dette har vært i stand til å utvikle en undersøkelse av fysiske fenomener, som beskriver dem ved anvendelse av vektorer. Dette har muliggjort en bedre forståelse av universet.

index

  • 1 grunnlag
    • 1.1 Geometrisk
    • 1.2 Analytisk
    • 1,3 aksiomatisk
  • 2 størrelser
    • 2.1 skalar størrelse
    • 2.2 Vektorstørrelse
  • 3 Hva er vektorer?
    • 3.1 Modul
    • 3.2 Adresse
    • 3.3 Sense
  • 4 Klassifisering av vektorer
    • 4.1 Fast vektor
    • 4.2 Gratis vektor
    • 4.3 Glidende vektor
  • 5 egenskaper av vektorer
    • 5,1 equipolentes vektorer
    • 5.2 ekvivalente vektorer
    • 5.3 Likestilling av vektorer
    • 5.4 Motsatt vektorer
    • 5,5 Enhetsvektor
    • 5.6 Null Vector
  • 6 Komponenter av en vektor
    • 6.1 Eksempler
  • 7 Operasjoner med vektorer
    • 7.1 Legge til og trekke vektorer
    • 7.2 Multiplikasjon av vektorer
  • 8 referanser

fundamenter

Vektor algebra stammer fra studiet av quaternions (forlengelse av reelle tall) 1, i, j, k, i tillegg til kartesisk geometrien fremmes av Gibbs og Unit, som innså at vektorene tjener som et verktøy for representerer ulike fysiske fenomener.

Vectoralgebra er studert gjennom tre fundament:

geometrisk

Vektorene er representert av linjer som har en orientering, og operasjonene som tillegg, subtraksjon og multiplikasjon med reelle tall er definert gjennom geometriske metoder.

analytisk

Beskrivelsen av vektorene og deres operasjoner er gjort med tall, kalt komponenter. Denne typen beskrivelse er resultatet av en geometrisk representasjon fordi et koordinatsystem brukes.

axiomatically

En beskrivelse av vektorene er laget, uavhengig av koordinatsystemet eller en hvilken som helst type geometrisk representasjon.

Studien av figurer i rommet gjøres gjennom representasjon i et referansesystem, som kan være i en eller flere dimensjoner. Blant de viktigste systemene er:

- Etdimensjonalt system, som er en linje der ett punkt (O) representerer opprinnelsen og et annet punkt (P) bestemmer skalaen (lengden) og retningen av den:

- Rektangulært koordinatsystem (todimensjonal), som består av to vinkelrette linjer kalt x-akse og y-akse, som passerer gjennom et punkt (O) opprinnelse; På denne måten er flyet delt inn i fire regioner kalt kvadranter. I dette tilfellet er et punkt (P) i flyet gitt av avstandene som eksisterer mellom aksene og P.

- Polar koordinatsystem (todimensjonal). I dette tilfellet består systemet av et punkt O (opprinnelse) som kalles en pol og en stråle med opprinnelse O kalt polar akse. I dette tilfellet er punkt P av flyet, med henvisning til polen og polaraksen, gitt av vinkelen ()), som dannes av avstanden mellom opprinnelsen og punktet P.

- Rektangulært tredimensjonalt system, dannet av tre vinkelrette linjer (x, y, z) som har som opprinnelse et punkt O i rommet. Tre koordinatplaner dannes: xy, xz og yz; Plassen blir delt inn i åtte regioner kalt oktanter. Referansen til et punkt P av rommet er gitt av avstandene som eksisterer mellom planene og P.

størrelser

En størrelsesorden er en fysisk mengde som kan telles eller måles gjennom en numerisk verdi, som i tilfelle noen fysiske fenomener; Likevel er det ofte nødvendig å kunne beskrive disse fenomenene med andre faktorer som ikke er numeriske. Derfor er størrelsesordenene klassifisert i to typer:

Skalar størrelse

De er de kvantene som er definert og representert numerisk; det vil si ved en modul sammen med en måleenhet. For eksempel:

a) Tid: 5 sekunder.

b) Masse: 10 kg.

c) Volum: 40 ml.

d) Temperatur: 40ºC.

Vector størrelse

De er de kvantene som er definert og representert av en modul sammen med en enhet, så vel som av en følelse og retning. For eksempel:

a) Hastighet: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Akselerasjon: 13 m / s2; S 45º E.

c) Kraft: 280 N, 120º.

d) Vekt: -40 ĵ kg-f.

Vektorstørrelser er representert grafisk av vektorer.

Hva er vektorer?

Vektorer er grafiske representasjoner av vektorgraden; det vil si de er segmenter av linjer hvor deres endelige ende er spissen av en pil.

Disse bestemmes av deres modul eller segmentlengde, deres følelse som er indikert ved spissen av pilen og deres retning i henhold til linjen de tilhører. Opprinnelsen til en vektor er også kjent som brukspunktet.

Elementene i en vektor er følgende:

modul

Det er avstanden fra opprinnelsen til enden av en vektor, representert ved et ekte tall sammen med en enhet. For eksempel:

| OM | = | A | = A = 6 cm

adresse

Det er målet for vinkelen som eksisterer mellom x-aksen (fra den positive) og vektoren, så vel som kardinalpunktene (nord, sør, øst og vest) brukes.

forstand

Den er gitt av pilespissen som ligger på slutten av vektoren, og indikerer hvor dette er på vei.

Vektorer klassifisering

Generelt vektorer er klassifisert som:

Fast vektor

Det er den som har sitt utgangspunkt (opprinnelse) det vil si at den forblir knyttet til et punkt i rommet, grunnen til at det ikke kan forskjøves i dette.

Gratis vektor

Den kan bevege seg fritt i verdensrommet fordi opprinnelsen beveger seg til et hvilket som helst punkt uten å endre sin modul, følelse eller retning.

Glidende vektor

Det er den som kan flytte sin opprinnelse langs sin handlingslinje uten å endre sin modul, følelse eller retning.

Vektorer egenskaper

Blant de viktigste egenskapene til vektorer er følgende:

Equipolentes vektorer

De er de frie vektorer som har samme modul, retning (eller de er parallelle) og føler at en glidende vektor eller en fast vektor.

Likeverdige vektorer

Det skjer når to vektorer har samme adresse (eller er parallelle), samme forstand, og til tross for at de har forskjellige moduler og applikasjonspunkter, gir de samme effekter.

Likestillingsvektorer

De har samme modul, retning og følelse, selv om startpunktene er forskjellige, noe som gjør at en parallellvektor kan bevege seg uten å påvirke den..

Motsatt vektorer

De er de som har samme modul og retning, men deres følelse er motsatt.

Vector enhet

Det er det der modulen er lik enheten (1). Dette oppnås ved å dele vektoren ved sin modul og blir brukt til å bestemme retningen og følelse av en vektor, enten i den plane eller i rommet, ved hjelp av basen vektorene normaliserte eller enhet, som er:

Null vektor

Det er den hvis modulen er lik 0; det vil si at deres opprinnelsespunkt og ekstreme sammenfaller i samme punkt.

Komponenter av en vektor

Komponentene til en vektor er de verdiene av fremspringene til vektoren på aksene i referansesystemet; Avhengig av dekomponering av vektoren, som kan være i to eller tredimensjonale akser, vil det oppnås to eller tre komponenter.

Komponentene til en vektor er reelle tall, som kan være positive, negative eller til og med null (0).

Således, hvis det er en A-vektor, som stammer fra et rektangulært koordinatsystem i xy (todimensjonal) plan, fremspringet på x-aksen er x og projeksjonen på y-aksen er AY. Vektoren blir således uttrykt som summen av dets komponentvektorer.

eksempler

Første eksempel

Vi har en vektor  som starter fra opprinnelsen og koordinatene til dens ender er gitt. Dermed er vektoren  = (Āx; Enog) = (4; 5) cm.

Hvis En vektor opptrer ved begynnelsen av et koordinatsystem med tre-dimensjonale trekantet (på plass) x, y, z, til et annet punkt (P), projeksjonene av deres akser er Ax, Ay og Az; vektoren vil således bli uttrykt som summen av dens tre komponentvektorer.

Andre eksempel

Vi har en vektor  som starter fra opprinnelsen og koordinatene til dens ender er gitt. Dermed er vektoren  = (Ax; Enog; Enz) = (4; 6; -3) cm.

Vektorer som har sine rektangulære koordinater kan uttrykkes i forhold til deres basisvektorer. For det må bare hver koordinat multipliseres med sin respektive enhedsvektor på en slik måte at for flyet og plassen de vil være følgende:

For flyet: Â = Axjeg + Aogj.

For plassen: Â = Axjeg + Aogj + azk.

Operasjoner med vektorer

Det er mange størrelser som har en modul, sans og retning, for eksempel akselerasjon, hastighet, forskyvning, kraft, blant andre..

Disse brukes i ulike områder av vitenskapen, og for å anvende dem er det i noen tilfeller nødvendig å utføre operasjoner som tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og deling av vektorer og skalarer.

Tilsetning og subtraksjon av vektorer

Tilsetningen og subtraksjonen av vektorer regnes som en enkelt algebraisk operasjon fordi subtraksjonen kan skrives som summen; for eksempel kan subtraksjon av vektorer  og Ē uttrykkes som:

 - Ē = Ā + (-Ē)

Det finnes forskjellige metoder for å utføre tillegg og subtraksjon av vektorer: de kan være grafiske eller analytiske.

Grafiske metoder

Brukes når en vektor har en modul, sans og retning. For å gjøre dette, blir linjer tegnet som danner en figur som senere bidrar til å bestemme den resulterende. Blant de mest kjente, skiller seg følgende ut:

Parallelogrammetode

Til addisjon eller subtraksjon av to vektorer blir valgt ved et punkt som er felles for det koordinataksesystem som representerer nullpunktet av den vektor-opprettholde sin modul, følelse og retningen.

Deretter trekkes linjer parallelt med vektorene for å danne et parallellogram. Den resulterende vektoren er diagonalen som går fra utgangspunktet til begge vektorene til parallellogrammets toppunkt:

Triangle metode

I denne metoden plasseres vektorene en etter den andre, opprettholder modulene, retningene og retningene. Den resulterende vektoren vil være forening av opprinnelsen til den første vektor med enden av den andre vektor:

Analytiske metoder

Du kan legge til eller trekke to eller flere vektorer gjennom en geometrisk eller vektormetode:

Geometrisk metode

Når to vektorer danner en trekant eller parallellogram, kan modulen og retningen til den resulterende vektoren bestemmes ved bruk av sinus- og cosinusloven. Dermed er modulen til den resulterende vektoren, ved anvendelse av cosinusloven og ved trekantmetoden, gitt av:

I denne formelen er β vinkelen motsatt side R, og dette er lik 180º -..

I motsetning til, ved parallellogrammetoden, er den resulterende vektormodulen:

Retningen for den resulterende vektoren er gitt av vinkelen (a), som danner den resulterende med en av vektorene.

Ved sinusloven kan tilsetning eller subtraksjon av vektorer også gjøres ved trekant eller parallellogrammetode, ved å vite at i hver trekant er sidene proporsjonale med brystene av vinklene:

Vector metode

Dette kan gjøres på to måter: avhengig av deres rektangulære koordinater eller deres basisvektorer.

Det kan gjøres ved å overføre vektorene som skal legges til eller trekkes til koordinatets opprinnelse, og deretter alle fremspringene på hver av aksene for planet (x, y) eller mellomrom (x, og z); Til slutt blir dets komponenter lagt til algebraisk. Så, for flyet er det:

Modulen av den resulterende vektoren er:

Mens det er plass, er det:

Modulen av den resulterende vektoren er:

Når du utfører vektorsummer, brukes flere egenskaper, som er:

- Associativ egenskap: Resultatet endres ikke ved å legge to vektorer først, og deretter legge til en tredje vektor.

- Kommutativ egenskap: vektorenes rekkefølge endrer ikke den resulterende.

- Vektorfordelingsegenskap: Hvis en skalar multipliceres med summen av to vektorer, er den lik multiplikasjonen av skalar for hver vektor.

- Skalær distribusjonsegenskap: Hvis en vektor blir multiplisert med summen av to skalarer, er den lik multiplikasjonen av vektoren for hver skalar.

Multiplikasjon av vektorer

Multiplikasjonen eller produktet av vektorer kan gjøres som tillegg eller subtraksjon, men i så fall mister den fysiske betydningen og er nesten aldri funnet innenfor applikasjoner. Derfor er de mest brukte produkttypeene vanligvis det skalar- og vektorproduktet.

Skalar produkt

Det er også kjent som et punktprodukt av to vektorer. Når modulene til to vektorer blir multiplisert med cosinus av den mindre vinkelen som dannes mellom dem, oppnås en skalar. For å plassere et skalarprodukt mellom to vektorer, er et punkt plassert mellom dem, og dette kan defineres som:

Verdien av vinkelen som eksisterer mellom de to vektorene vil avhenge av om de er parallelle eller vinkelrette; Så må du:

- Hvis vektorene er parallelle og har samme forstand, cosinus 0º = 1.

- Hvis vektorene er parallelle og har motsatte sanser, cosinus 180º = -1.

- Hvis vektorene er vinkelrett, cosinus 90º = 0.

Den vinkelen kan også beregnes ved å vite at:

Det skalære produktet har følgende egenskaper:

- Kommutativ egenskap: vektorenes rekkefølge endrer ikke skaleren.

-Distribusjonseiendom: dersom en skalar multipliceres med summen av to vektorer, er den lik multiplikasjonen av skalar for hver vektor.

Vector produkt

Vektormultiplikasjonen eller kryssproduktet av to vektorer A og B vil resultere i en ny vektor C og uttrykkes ved bruk av et kryss mellom vektorene:

Den nye vektoren har sine egne egenskaper. På den måten:

- Retningen: Denne nye vektoren vil være vinkelrett på flyet, som bestemmes av de opprinnelige vektorene.

- Forstanden: Dette bestemmes av regelen av høyre hånd, hvor vektoren A roteres mot B ved å peke rotasjonsretningen med fingrene, og med tommelen er vektens betydning merket.

- Modulen: bestemmes av multiplikasjonen av modulene til vektorene AxB, ved sinus av den minste vinkel som eksisterer mellom disse vektorene. Det uttrykkes:

Verdien av vinkelen som eksisterer mellom de to vektorene vil avhenge av om de er parallelle eller vinkelrette. Da er det mulig å bekrefte følgende:

- Hvis vektorene er parallelle og har samme forstand, sint 0º = 0.

- Hvis vektorene er parallelle og har motsatte sanser, sinus 180º = 0.

- Hvis vektorene er vinkelrett, sinus 90º = 1.

Når et vektorprodukt uttrykkes i form av dets basisvektorer, må det:

Det skalære produktet har følgende egenskaper:

- Det er ikke kommutativ: vektorenes rekkefølge endrer skalar.

- Distribusjonseiendom: dersom en skalar multipliceres med summen av to vektorer, er den lik multiplikasjonen av skalar for hver vektor.

referanser

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Enkel lineær regresjon." Naturmetoder .
  2. Angel, A. R. (2007). Elementær algebra Pearson Education,.
  3. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr til Vectorial i eksempler. Moskva: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Lineær algebra og dens applikasjoner. Pearson Education.
  6. Llinares, J. F. (2009). Lineær algebra: Vector plass. Euklidisk vektorplass. Universitetet i Alicante.
  7. Mora, J. F. (2014). Lineær algebra fedre.