Matematisk logisk opprinnelse, hvilke studier, typer



den matematisk logikk eller symbolsk logikk er et matematisk språk som inneholder de nødvendige verktøyene ved hjelp av hvilke matematisk resonnement kan bekreftes eller nektes.

Det er velkjent at i matematikk er det ingen tvetydigheter. Gitt et matematisk argument, dette er gyldig eller bare ikke. Det kan ikke være falskt og sant samtidig.

Et spesielt aspekt ved matematikk er at det har et formelt og strenge språk som kan fastslå gyldigheten av en resonnement. Hva er det som gjør visse resonnementer eller noe matematisk bevis uopprettelig? Det er hva matematisk logikk handler om.

Dermed er logikk matematikkdisiplinen som er ansvarlig for å studere matematisk resonnement og demonstrasjoner, og gi verktøyene mulighet til å utlede en korrekt konklusjon fra tidligere uttalelser eller proposisjoner.

For å gjøre dette bruker den aksiomer og andre matematiske aspekter som vil bli utviklet senere.

index

  • 1 Opprinnelse og historie
    • 1.1 Aristoteles
  • 2 Hvilke matematiske logikkstudier?
    • 2.1 Forslag
    • 2.2 Sannhetstabeller
  • 3 Typer matematisk logikk
    • 3.1 Områder
  • 4 referanser

Opprinnelse og historie

De eksakte datoene med hensyn til mange aspekter av matematisk logikk er usikre. Imidlertid sporer de fleste bibliografier om emnet opprinnelsen til dette til det gamle Hellas.

Aristoteles

Begynnelsen av streng behandling av logikk skyldes delvis til Aristoteles, som skrev en rekke verk på logikk, som senere ble utarbeidet og utviklet av ulike filosofer og forskere til middelalderen. Dette kan betraktes som "den gamle logikken".

Så, der er kjent som den moderne tidsalder, Leibniz, drevet av et dypt ønske om å etablere et universelt språk til å resonnere matematisk og andre matematikere som Gottlob Frege og Giuseppe Peano, særlig påvirket utviklingen av matematisk logikk med store bidrag , blant annet, de aeroioms of peano, som formulerer uunnværlige egenskaper av naturlige tall.

Var også innflytelsesrike på denne tiden matematikere George Boole og Georg Cantor, med viktige bidrag til å sette teori og sannhetstabeller, som fremhevet, blant annet boolsk algebra (av George Boole) og aksiom valg (av George Cantor).

Augustus De Morgan også med de kjente lover Morgan, vurderer negasjoner, konjunksjoner, motsetninger og conditionals mellom forslag, nøkkelen til utvikling av Symbolic Logic og den berømte John Venn-diagrammer Venn.

I 1900-tallet, omtrent 1910-1913, skiller Bertrand Russell og Alfred North Whitehead ut med publisering av Principia mathematica, et sett med bøker som samler, utvikler og postulerer en rekke aksiomer og logikkresultater.

Hvilke matematiske logikkstudier?

proposisjoner

Matematisk logikk begynner med studiet av proposisjoner. Et forslag er en bekreftelse at uten tvetydighet kan sies om det er sant eller ikke. Følgende er eksempler på proposisjoner:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • I år 1930 var det et jordskjelv i Europa.

Den første er et sant proposisjon, og det andre er et falskt proposisjon. Den tredje, selv om det er mulig at personen som leser den ikke vet om det er sant eller umiddelbart, er det en uttalelse som kan verifiseres og fastslås om det virkelig skjedde eller ikke.

Følgende er eksempler på uttrykk som ikke er proposisjoner:

  • Hun er blond.
  • 2x = 6.
  • La oss spille!
  • Liker du kino?

I det første forslaget er det ikke spesifisert hvem "hun" er, derfor kan ingenting bekreftes. I det andre forslaget er det ikke angitt hva som er representert av "x". Hvis i stedet ble det sagt at 2x = 6 for noe naturlig tall x, i dette tilfellet ville det tilsvare et forslag, faktisk sant, siden for x = 3 er det oppfylt.

De to siste utsagnene stemmer ikke overens med et forslag, siden det ikke er mulig å nekte eller bekrefte dem.

To eller flere proposisjoner kan kombineres (eller tilkoblet) ved hjelp av de kendte tilkoblingspunktene (eller kontaktene). Disse er:

  • Fornektelse: "det regner ikke".
  • Disjunction: "Luisa kjøpte en hvit eller grå pose".
  • Konjunktjon: "42= 16 og 2 × 5 = 10 ".
  • Betinget: "Hvis det regner, så går jeg ikke til treningsstudio i ettermiddag".
  • Biconditional: "Jeg går til gym i ettermiddag hvis, og bare hvis det ikke regner".

Et forslag som ikke har noen av de tidligere forbindelsene, kalles enkelt proposisjon (eller atom). For eksempel, "2 er mindre enn 4", er et enkelt forslag. Forslagene som har noen sammenhengende kalles sammensatte proposisjoner, som for eksempel "1 + 3 = 4 og 4 er et jevnt tall".

Erklæringene som gjøres ved hjelp av forslag er vanligvis lange, så det er kjedelig å skrive dem alltid som vi har sett så langt. Av denne grunn brukes et symbolsk språk. Forslagene er vanligvis representert ved store bokstaver, for eksempel P, Q, R, S, etc. Og den symbolske forbindelsen som følger:

Så det

den gjensidig av et betinget forslag

er forslaget

Og contrapositive (eller kontrapositive) av et forslag

er forslaget

Sannhet tabeller

Et annet viktig begrep i logikk er sannhetstabellene. Sannhetsverdiene til et forslag er de to alternativene du har for et forslag: true (som er merket med V og fortelle deres sannhetsverdi er V) eller falsk (som er merket med F og si at dens verdi det er virkelig F).

Sannværdien av en sammensatt proposisjon avhenger utelukkende av sannhetsverdiene til de enkle proposisjonene som vises i den.

For å jobbe mer generelt, vil vi ikke vurdere spesifikke proposisjoner, men proposisjonelle variabler p, q, r, s, etc., som vil representere eventuelle forslag.

Med disse variablene og de logiske forbindelsene dannes de kjente proposisjonelle formlene akkurat som sammensatte setninger er konstruert.

Hvis hver av variablene som vises i en proposisjonell formel erstattes av et forslag, oppnås en sammensatt proposisjon.

Nedenfor er sannhetstabellene for logiske forbindelser:

Det er proposisjonelle formler som bare mottar verdien V i deres sannhetstabell, det vil si at den siste kolonnen i sannhetstabellen bare har verdien V. Denne typen formler er kjent som tautologier. For eksempel:

Følgende er sannhetstabellen av formelen

Det sies at en formel a logisk innebærer en annen formel β, hvis α er sant hver gang β er sant. Det er i sannhetstabellen til α og β, radene der α har en V, β har også en V. Bare radene der α har verdien V er av interesse. Notasjonen for logisk implikasjon er følgende :

Følgende tabell oppsummerer egenskapene til den logiske implikasjonen:

Det sies at to proposisjonelle formler er logisk ekvivalente hvis deres sannhetstabeller er identiske. Følgende notasjon brukes til å uttrykke den logiske ekvivalensen:

Følgende tabeller oppsummerer egenskapene til den logiske ekvivalensen:

Typer av matematisk logikk

Det finnes ulike typer logikk, spesielt hvis man tar hensyn til den pragmatiske eller uformelle logikken som peker på filosofien, blant annet.

Når det gjelder matematikk, kan typene logikk oppsummeres som følger:

  • Formell eller Aristotelisk Logikk (Ancient Logic).
  • Propositional logic: er ansvarlig for studiet av alt relatert til gyldigheten av argumenter og proposisjoner ved hjelp av et formelt språk og også symbolsk.
  • Symbolisk logikk: fokusert på studiet av sett og deres egenskaper, også med et formelt og symbolsk språk, og er dypt knyttet til proposisjonell logikk.
  • Kombinert logikk: En av de nylig utviklede, innebærer resultater som kan utvikles av algoritmer.
  • Logisk programmering: brukes i de ulike pakker og programmeringsspråk.

områder

Blant de områdene som gjør bruk av matematisk logikk så viktig i utviklingen av deres resonnement og argumenter, de vektlegger filosofi, mengdelære, tallteori, algebraisk konstruktive matematikk og programmeringsspråk.

referanser

  1. Aylwin, C. U. (2011). Logikk, sett og tall. Mérida - Venezuela: Publikasjonsråd, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduksjon til tallteori. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Grunnkurs i talteori. University of the North.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Slik utvikler du matematisk logisk begrunnelse. University Editorial.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Teori av tall. Editorial Vision Books.