Minimum kvadratmetode, løste øvelser og hva det tjener



Metoden for minste firkanter er en av de viktigste applikasjonene i tilnærming av funksjoner. Tanken er å finne en kurve slik at denne funksjonen bedre tilsvarer dataene, gitt et sett bestilte par. Funksjonen kan være en linje, en kvadratisk kurve, en kubisk kurve, etc..

Ideen om fremgangsmåten er å minimalisere summen av kvadrerte forskjeller på ordinaten (Y-komponenten) mellom punktene som genereres av den valgte funksjonen og punkter tilhørende datasettet.

index

  • 1 minste kvadrater metode
  • 2 Oppgaver løst
    • 2.1 Øvelse 1
    • 2.2 Øvelse 2
  • 3 Hva er det for??
  • 4 referanser

Minste kvadrater metode

Før vi gir metoden, må vi først være tydelige om hva "bedre tilnærming" betyr. La oss anta at vi ser etter en linje y = b + mx som best representerer et sett med n poeng, nemlig (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Som vist i figuren ovenfor, hvis x- og y-variabler relatert ved hjelp av linjen y = mx + b, for x = x1 da verdien av b + og ville MX1. Denne verdien er imidlertid forskjellig fra den ekte verdien av y, som er y = y1.

Husk at i flyet er avstanden mellom to punkter gitt av følgende formel:

Med dette i bakhodet, for å bestemme hvordan du velger linjen y = b + mx som best tilnærmer gjeldende data, er det fornuftig å bruke valget av linjen som minimerer summen av kvadrater av avstandene mellom punktene som kriterier og rett.

Siden avstanden mellom punktene (x1, y1) og (x1, b + mx1) er y1- (b + mx1), reduseres problemet vårt til å finne tallene m og b slik at følgende sum er minimal:

Linjen som oppfyller denne tilstanden kalles "tilnærming av de minste rutene linje til punktene (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Når problemet er løst, må vi bare velge en metode for å finne de minste kvadratene tilnærming. Hvis poengene (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) er alle på linjen y = mx + b, må vi være kollinære og:

I dette uttrykket:

Endelig, hvis poengene ikke er kollinære, så kan y-Au = 0 og problemet oversettes til å finne en vektor eller slik at euklidiske normen er minimal.

Å finne den minimerende vektoren er ikke så vanskelig som du kanskje tror. Siden A er en matrise nx2 og du er en 2 × 1 matrise, har vi at vektoren Au er en vektor i Rn og det tilhører bildet av A, som er et underrom av Rn med en dimensjon ikke større enn to.

Vi antar at n = 3 for å vise hvilken prosedyre som skal følges. Hvis n = 3, vil bildet av A være et plan eller en linje som går gjennom opprinnelsen.

La v være minimeringsvektoren. I figur ser vi at y-Au er minimert når er ortogonal til bildet A. Det vil si, hvis v er vektoren Minimizer skjer da at:

Da kan vi uttrykke ovenstående på denne måten:

Dette kan bare skje hvis:

Til slutt, rydding av v, må vi:

Det er mulig å gjøre dette siden AtA er inverterbar så lenge n-punktene som er gitt som data ikke er kollinære.

Nå, hvis stedet for å søke en linje ønsket vi å finne en lignelse (hvis uttrykk ville være på formen y = a + bx + cx2) som var en bedre tilnærming til n datapunkter, ville prosedyren være som beskrevet nedenfor.

Hvis de n datapunktene var i nevnte parabola, måtte det:

deretter:

På samme måte kan vi skrive y = Au. Hvis alle punktene ikke er i parabelen, har vi at y-Au er forskjellig fra null for noen vektor du og vårt problem er igjen: finn en vektor u i R3 slik at dens norm || y-Au || være så liten som mulig.

Ved å gjenta den forrige prosedyren, kan vi komme til vektoren som søkte etter:

Løste oppgaver

Øvelse 1

Finn linjen som passer best til poengene (1,4), (-2,5), (3, -1) og (4,1).

oppløsning

Vi må:

deretter:

Derfor konkluderer vi med at linjen som passer best til poengene, er gitt av:

Øvelse 2

Anta at en gjenstand er tapt fra en høyde på 200 m. Mens det faller, tas følgende tiltak:

Vi vet at høyden på objektet, etter å ha passert en tid t, er gitt av:

Hvis vi ønsket å få verdien av g, kan vi finne en lignelse som er en bedre tilnærming til de fem punktene i tabellen og dermed har koeffisienten tilhørende t2 Det vil være en rimelig tilnærming til (-1/2) g hvis målingene er nøyaktige.

Vi må:

Og så:

Så blir datapunktene justert med følgende kvadratiske uttrykk:

Da må du:

Dette er en verdi som er rimelig nær den riktige, som er g = 9,81 m / s2. For å oppnå en mer nøyaktig tilnærming av g ville det være nødvendig å starte fra mer nøyaktige observasjoner.

Hva er det for??

Problemene som oppstår i de naturlige eller samfunnsfag er praktisk å skrive forholdet som eksisterer mellom ulike variabler av noen matematiske uttrykk.

For eksempel kan vi knytte de kostnadsøkonomi (C), inntekt (I) og verktøy (U) ved hjelp av en enkel formel:

I fysikk, kan vi forholde akselerasjon forårsaket av tyngdekraften, den tiden da et objekt har vært fallende og objektet høyde ved lov:

I forrige uttrykk seller er den innledende høyden til objektet og veller er din første hastighet.

Men å finne formler som disse er ikke en enkel oppgave; Vanligvis er det opp til profesjonelle på plikt å jobbe med mange data og gjentatte ganger utføre flere eksperimenter (for å verifisere at de oppnådde resultatene er konstante) for å finne forhold mellom de forskjellige dataene.

En vanlig måte å oppnå dette på er å representere de data som punkter på et plan, og finne en kontinuerlig funksjon optimalt tilnærminger til disse punktene.

En av måtene å finne funksjonen som "best tilnærmer" de oppgitte dataene er den minste kvadratmetoden.

I tillegg, som vi så også i øvelsen, takket være denne metoden kan vi få tilnærminger ganske nær fysiske konstanter.

referanser

  1. Charles W Curtis lineær algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementær Probability Theory med stokastiske prosesser. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Numerisk analyse (7ed). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Anvendelser av lineær algebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Lineær algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO