Bolzano's Theorem Forklaring, applikasjoner og øvelser løst
den Bolzano teorem fastslår at hvis en funksjon er kontinuerlig på alle punkter i et lukket intervall [a, b], og det er fornøyd at bildet av "a" og "b" (under funksjonen) har motsatte tegn, så vil det være minst ett punkt "C" i det åpne intervallet (a, b), slik at funksjonen evaluert i "c" vil være lik 0.
Dette teoremet ble forkynt av filosofen, teologen og matematikeren Bernhard Bolzano i 1850. Denne vitenskapsmann, født i nåværende Tsjekkia var det en av de første matematikere i historien å gjøre en formell demonstrasjon av egenskapene til kontinuerlige funksjoner.
index
- 1 Forklaring
- 2 Demonstrasjon
- 3 Hva er det for??
- 4 Oppgaver løst
- 4.1 Øvelse 1
- 4.2 Øvelse 2
- 5 referanser
forklaring
Bolzano's teorem er også kjent som mellomverdieretningen, som bidrar til å bestemme spesifikke verdier, spesielt nuller, av visse virkelige funksjoner av en reell variabel.
I en gitt funksjon fortsetter f (x), det vil si at f (a) og f (b) er forbundet med en kurve, hvor f (a) er under x-aksen (er negativ) og f (b) er over x-aksen (det er positivt), eller omvendt, vil det være et kuttpunkt på x-aksen som vil representere en mellomverdi "c", som vil være mellom "a" og "b" og verdien av f (c) vil være lik 0.
Ved å analysere Bolzano's teorem grafisk kan vi vite at for hver funksjon f kontinuerlig definert i et intervall [a, b], hvor f (a)*f (b) er mindre enn 0, vil det være minst en rot "c" av den funksjonen i intervallet (a, b).
Denne setningen fastslår ikke antall poeng som eksisterer i det åpne intervallet, bare sier at det er minst 1 poeng.
showet
For å bevise Bolzano's teorem antas det uten tap av generalitet at f (a) < 0 y f(b) > 0; På den måten kan det være mange verdier mellom "a" og "b" som f (x) = 0, men du trenger bare å vise at det er en.
Begynn med å evaluere f ved midtpunktet (a + b) / 2. Hvis f ((a + b) / 2) = 0, slutter testen her; ellers, så er f ((a + b) / 2) positiv eller negativ.
En av halvdelene av intervallet [a, b] er valgt, slik at tegnene på funksjonen evaluert i enden er forskjellige. Dette nye intervallet vil være [a1, b1].
Nå, hvis f evaluert ved midtpunktet for [a1, b1] ikke er null, utføres samme operasjon som før; det vil si at en halv av dette intervallet som oppfyller tilstanden til skiltene er valgt. Vær dette nye intervallet [a2, b2].
Hvis denne prosessen fortsetter, vil det bli tatt to suksesser an og bn slik at:
an øker og bn faller:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ en ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Hvis du beregner lengden på hvert intervall [ai, bi], må du:
b1-a1 = (b-a) / 2.
b2-a2 = (b-a) / 2².
... .
bn-an = (b-a) / 2 ^ n.
Derfor er grensen når n har en uendelighet på (bn-an) lik 0.
Ved å bruke an øker og avgrenses og bn faller og begrenses, må det være en verdi "c" slik at:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ en ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Grensen på en er "c" og grensen på bn er også "c". Derfor er det alltid en "n" slik at intervallet [an, bn] er inneholdt i intervallet (c-δ, c + δ).
Nå må det vises at f (c) = 0.
Hvis f (c)> 0, da f er kontinuerlig, eksisterer en e> 0 slik at f er positiv i hele intervallet (c-e, c + e). Men som nevnt ovenfor eksisterer det en verdi "n" slik at f endringer logger inn [an, bn] og dessuten er [an, bn] inneholdt i (c-e, c + e), hva er en motsetning.
Hvis f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 slik at f er negativt gjennom hele intervallet (c-e, c + e); men det finnes en verdi "n" slik at f endringer logger inn [an, bn]. Det viser seg at [en, bn] er inneholdt i (c-ε, c + ε), som også er en motsetning.
Derfor er f (c) = 0 og dette er det vi ønsket å demonstrere.
Hva er det for??
Fra sin grafiske tolkning brukes Bolzano's teorem til å finne røtter eller nuller i en kontinuerlig funksjon gjennom biseksjonen (tilnærming), som er en inkrementell søkemetode som alltid deler intervaller i 2.
Deretter tar du et intervall [a, c] eller [c, b] der skiltendringen oppstår, og gjenta prosessen til intervallet er mindre og mindre, slik at du kan nærme verdien du vil ha; det vil si verdien som funksjonen gjør 0.
Oppsummert, for å bruke Bolzano's teorem og dermed finne røttene, avgrense nullene til en funksjon eller gi løsningen til en ligning, utføres følgende trinn:
- Det er verifisert dersom f er en kontinuerlig funksjon i intervallet [a, b].
- Hvis intervallet ikke er oppgitt, bør man finne hvor funksjonen er kontinuerlig.
- Det er verifisert dersom ekstremer av intervallet gir motsatte tegn når de vurderes i f.
- Hvis motsatte tegn ikke er oppnådd, skal intervallet deles inn i to delintervaller ved hjelp av midtpunktet.
- Evaluer funksjonen ved midtpunktet og verifiser at Bolzano-hypotesen er oppfylt, der f (a) * f (b) < 0.
- Avhengig av tegnet (positivt eller negativt) av verdien som er funnet, gjentas prosessen med en ny subinterval til den nevnte hypotesen er oppfylt.
Løste oppgaver
Øvelse 1
Bestem om funksjonen f (x) = x2 - 2, har minst en reell løsning i intervallet [1,2].
oppløsning
Vi har funksjonen f (x) = x2 - 2. Siden det er polynom, betyr det at det er kontinuerlig i et hvilket som helst intervall.
Du blir bedt om å avgjøre om du har en reell løsning i intervallet [1, 2], så nå trenger du bare å erstatte endene av intervallet i funksjonen for å kjenne skiltet til disse og vite om de oppfyller betingelsen om å være forskjellig:
f (x) = x2 - 2
f (1) = 12 - 2 = -1 (negativ)
f (2) = 22 - 2 = 2 (positiv)
Derfor, tegn på f (1) ≠ tegn f (2).
Dette sikrer at det er minst ett punkt "c" som tilhører intervallet [1,2], hvor f (c) = 0.
I dette tilfellet kan verdien av "c" enkelt beregnes som følger:
x2 - 2 = 0
x = ± √2.
Således tilhører √2 ≈ 1,4 intervallet [1,2] og tilfredsstiller det f (√2) = 0.
Øvelse 2
Bevis at ligningen x5 + x + 1 = 0 har minst en reell løsning.
oppløsning
Først merk at f (x) = x5 + x + 1 er en polynomial funksjon, som betyr at den er kontinuerlig i alle reelle tall.
I dette tilfellet er det ikke gitt intervall, så verdier bør velges intuitivt, helst nær 0, for å evaluere funksjonen og finne skiltendringer:
Hvis du bruker intervallet [0, 1] må du:
f (x) = x5 + x + 1.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.
Da det ikke er noen skiltendring, gjentas prosessen med et annet intervall.
Hvis du bruker intervallet [-1, 0] må du:
f (x) = x5 + x + 1.
f (-1) = (-1)5 + (-1) + 1 = -1 < 0.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
I dette intervallet er det en skiftende skilt: tegn på f (-1) ≠ tegn på f (0), som betyr at funksjonen f (x) = x5 + x + 1 har minst en ekte rot "c" i intervallet [-1, 0], slik at f (c) = 0. Med andre ord er det sant at x5 + x + 1 = 0 har en reell løsning i intervallet [-1,0].
referanser
- Bronshtein I, S. K. (1988). Matematikkmanual for ingeniører og studenter ... Redaksjonell MIR.
- George, A. (1994). Matematikk og sinn. Oxford University Press.
- Ilín V, P. E. (1991). Matematisk analyse I tre volumer ...
- Jesús Gomez, F. G. (2003). Lærere av videregående opplæring. Volum II. MAD.
- Mateos, M. L. (2013). Grunnleggende egenskaper analysen i R. Editores, 20. desember.
- Piskunov, N. (1980). Differensiell og integrert beregning ...
- Sydsaeter K, H. P. (2005). Matematikk for økonomisk analyse. Felix Varela.
- William H. Barker, R. H. (s.f.). Kontinuerlig symmetri: Fra Euklid til Klein. Amerikansk matematisk Soc.