Bolzano's Theorem Forklaring, applikasjoner og øvelser løst

den Bolzano teorem fastslår at hvis en funksjon er kontinuerlig på alle punkter i et lukket intervall [a, b], og det er fornøyd at bildet av "a" og "b" (under funksjonen) har motsatte tegn, så vil det være minst ett punkt "C" i det åpne intervallet (a, b), slik at funksjonen evaluert i "c" vil være lik 0.

Dette teoremet ble forkynt av filosofen, teologen og matematikeren Bernhard Bolzano i 1850. Denne vitenskapsmann, født i nåværende Tsjekkia var det en av de første matematikere i historien å gjøre en formell demonstrasjon av egenskapene til kontinuerlige funksjoner.

index

• 1 Forklaring
• 2 Demonstrasjon
• 3 Hva er det for??
• 4 Oppgaver løst
  • 4.1 Øvelse 1
  • 4.2 Øvelse 2
• 5 referanser

forklaring

Bolzano's teorem er også kjent som mellomverdieretningen, som bidrar til å bestemme spesifikke verdier, spesielt nuller, av visse virkelige funksjoner av en reell variabel.

I en gitt funksjon fortsetter f (x), det vil si at f (a) og f (b) er forbundet med en kurve, hvor f (a) er under x-aksen (er negativ) og f (b) er over x-aksen (det er positivt), eller omvendt, vil det være et kuttpunkt på x-aksen som vil representere en mellomverdi "c", som vil være mellom "a" og "b" og verdien av f (c) vil være lik 0.

Ved å analysere Bolzano's teorem grafisk kan vi vite at for hver funksjon f kontinuerlig definert i et intervall [a, b], hvor f (a)_*f (b) er mindre enn 0, vil det være minst en rot "c" av den funksjonen i intervallet (a, b).

Denne setningen fastslår ikke antall poeng som eksisterer i det åpne intervallet, bare sier at det er minst 1 poeng.

showet

For å bevise Bolzano's teorem antas det uten tap av generalitet at f (a) < 0 y f(b) > 0; På den måten kan det være mange verdier mellom "a" og "b" som f (x) = 0, men du trenger bare å vise at det er en.

Begynn med å evaluere f ved midtpunktet (a + b) / 2. Hvis f ((a + b) / 2) = 0, slutter testen her; ellers, så er f ((a + b) / 2) positiv eller negativ.

En av halvdelene av intervallet [a, b] er valgt, slik at tegnene på funksjonen evaluert i enden er forskjellige. Dette nye intervallet vil være [a1, b1].

Nå, hvis f evaluert ved midtpunktet for [a1, b1] ikke er null, utføres samme operasjon som før; det vil si at en halv av dette intervallet som oppfyller tilstanden til skiltene er valgt. Vær dette nye intervallet [a2, b2].

Hvis denne prosessen fortsetter, vil det bli tatt to suksesser an og bn slik at:

an øker og bn faller:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ en ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Hvis du beregner lengden på hvert intervall [ai, bi], må du:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Derfor er grensen når n har en uendelighet på (bn-an) lik 0.

Ved å bruke an øker og avgrenses og bn faller og begrenses, må det være en verdi "c" slik at:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ en ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Grensen på en er "c" og grensen på bn er også "c". Derfor er det alltid en "n" slik at intervallet [an, bn] er inneholdt i intervallet (c-δ, c + δ).

Nå må det vises at f (c) = 0.

Hvis f (c)> 0, da f er kontinuerlig, eksisterer en e> 0 slik at f er positiv i hele intervallet (c-e, c + e). Men som nevnt ovenfor eksisterer det en verdi "n" slik at f endringer logger inn [an, bn] og dessuten er [an, bn] inneholdt i (c-e, c + e), hva er en motsetning.

Hvis f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 slik at f er negativt gjennom hele intervallet (c-e, c + e); men det finnes en verdi "n" slik at f endringer logger inn [an, bn]. Det viser seg at [en, bn] er inneholdt i (c-ε, c + ε), som også er en motsetning.

Derfor er f (c) = 0 og dette er det vi ønsket å demonstrere.

Hva er det for??

Fra sin grafiske tolkning brukes Bolzano's teorem til å finne røtter eller nuller i en kontinuerlig funksjon gjennom biseksjonen (tilnærming), som er en inkrementell søkemetode som alltid deler intervaller i 2.

Deretter tar du et intervall [a, c] eller [c, b] der skiltendringen oppstår, og gjenta prosessen til intervallet er mindre og mindre, slik at du kan nærme verdien du vil ha; det vil si verdien som funksjonen gjør 0.

Oppsummert, for å bruke Bolzano's teorem og dermed finne røttene, avgrense nullene til en funksjon eller gi løsningen til en ligning, utføres følgende trinn:

- Det er verifisert dersom f er en kontinuerlig funksjon i intervallet [a, b].

- Hvis intervallet ikke er oppgitt, bør man finne hvor funksjonen er kontinuerlig.

- Det er verifisert dersom ekstremer av intervallet gir motsatte tegn når de vurderes i f.

- Hvis motsatte tegn ikke er oppnådd, skal intervallet deles inn i to delintervaller ved hjelp av midtpunktet.

- Evaluer funksjonen ved midtpunktet og verifiser at Bolzano-hypotesen er oppfylt, der f (a) _* f (b) < 0.

- Avhengig av tegnet (positivt eller negativt) av verdien som er funnet, gjentas prosessen med en ny subinterval til den nevnte hypotesen er oppfylt.

Løste oppgaver

Øvelse 1

Bestem om funksjonen f (x) = x² - 2, har minst en reell løsning i intervallet [1,2].

oppløsning

Vi har funksjonen f (x) = x² - 2. Siden det er polynom, betyr det at det er kontinuerlig i et hvilket som helst intervall.

Du blir bedt om å avgjøre om du har en reell løsning i intervallet [1, 2], så nå trenger du bare å erstatte endene av intervallet i funksjonen for å kjenne skiltet til disse og vite om de oppfyller betingelsen om å være forskjellig:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativ)

f (2) = 2² - 2 = 2 (positiv)

Derfor, tegn på f (1) ≠ tegn f (2).

Dette sikrer at det er minst ett punkt "c" som tilhører intervallet [1,2], hvor f (c) = 0.

I dette tilfellet kan verdien av "c" enkelt beregnes som følger:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Således tilhører √2 ≈ 1,4 intervallet [1,2] og tilfredsstiller det f (√2) = 0.

Øvelse 2

Bevis at ligningen x⁵ + x + 1 = 0 har minst en reell løsning.

oppløsning

Først merk at f (x) = x⁵ + x + 1 er en polynomial funksjon, som betyr at den er kontinuerlig i alle reelle tall.

I dette tilfellet er det ikke gitt intervall, så verdier bør velges intuitivt, helst nær 0, for å evaluere funksjonen og finne skiltendringer:

Hvis du bruker intervallet [0, 1] må du:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Da det ikke er noen skiltendring, gjentas prosessen med et annet intervall.

Hvis du bruker intervallet [-1, 0] må du:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

I dette intervallet er det en skiftende skilt: tegn på f (-1) ≠ tegn på f (0), som betyr at funksjonen f (x) = x⁵ + x + 1 har minst en ekte rot "c" i intervallet [-1, 0], slik at f (c) = 0. Med andre ord er det sant at x⁵ + x + 1 = 0 har en reell løsning i intervallet [-1,0].

referanser

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Matematikkmanual for ingeniører og studenter ... Redaksjonell MIR.
2. George, A. (1994). Matematikk og sinn. Oxford University Press.
3. Ilín V, P. E. (1991). Matematisk analyse I tre volumer ...
4. Jesús Gomez, F. G. (2003). Lærere av videregående opplæring. Volum II. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Grunnleggende egenskaper analysen i R. Editores, 20. desember.
6. Piskunov, N. (1980). Differensiell og integrert beregning ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Matematikk for økonomisk analyse. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Kontinuerlig symmetri: Fra Euklid til Klein. Amerikansk matematisk Soc.