Chebyshovs teorem Hva det består av, applikasjoner og eksempler



den Chebyshovs teoremåte (eller Chebyshovs ulikhet) er et av de viktigste klassiske resultatene av sannsynlighetsteorien. Det gjør det mulig å estimere sannsynligheten for en hendelse som er beskrevet i form av en tilfeldig variabel X, ved å gi oss en dimensjon som ikke er avhengig av fordelingen av den tilfeldige variabelen, men på variansen av X.

Teoremet er oppkalt etter den russiske matematikeren tsjebysjev Pafnuty (også skrevet som Chebychev eller Tchebycheff) som, til tross for ikke å være den første til å enunciate dette teoremet, var den første til å gi en demonstrasjon i 1867.

Denne ulikheten, eller de som etter deres egenskaper kalles Chebyshov-ulikhet, brukes hovedsakelig til å omtrentlige sannsynligheter ved beregning av dimensjoner.

index

  • 1 Hva består det av??
  • 2 Applikasjoner og eksempler
    • 2.1 Bindende sannsynligheter
    • 2.2 Demonstrasjon av grenseordene
    • 2.3 Prøvestørrelse
  • 3 ulikheter skriver Chebyshov
  • 4 referanser

Hva består det av??

I studiet av sannsynlighetsteori oppstår hvis fordelingen funksjon av en tilfeldig variabel X er kjent, kan du beregne forventet verdi, eller matematisk forventning E (X) - og dens varians Var (X), forutsatt at nevnte beløp eksisterer. Imidlertid er gjensidig ikke nødvendigvis sant.

Det vil si, å vite E (X) og Var (X) kan ikke nødvendigvis bli fordelingsfunksjonen av X, slik at mengdene P (| X |> k) for noen k> 0, er meget vanskelig å oppnå. Men takket være Chebyshovs ulikhet er det mulig å estimere sannsynligheten for den tilfeldige variabelen.

Chebyshovs teorem forteller oss at hvis vi har en tilfeldig variabel X over et prøveområde S med en sannsynlighetsfunksjon p, og hvis k> 0, så:

Søknader og eksempler

Blant de mange programmene som Chebyshovs teorem har, kan følgende nevnes:

Binding av sannsynligheter

Dette er den mest vanlige applikasjonen og brukes til å gi en øvre grense for P (| X-E (X) | ≥k) hvor k> 0, bare variansen og forventning av den tilfeldige variable X, uten å kjenne til sannsynlighetsfunksjon.

Eksempel 1

Anta at antall produkter produsert i et selskap i løpet av en uke er en tilfeldig variabel med et gjennomsnitt på 50.

Hvis vi vet at variansen i en ukes produksjon er lik 25, hva kan vi si om sannsynligheten for at produksjonen i denne uken vil variere med mer enn 10 fra gjennomsnittet?

oppløsning

Ved å bruke ulikheten til Chebyshov må vi:

Fra dette kan vi oppnå at sannsynligheten for at produksjonen i produksjonsugen overstiger mer enn 10 til gjennomsnittet, er maksimalt 1/4.

Demonstrasjon av grenseordene

Ulikheten til Chebyshov spiller en viktig rolle i demonstrasjonen av de viktigste grenseteorene. Som et eksempel har vi følgende:

Svak lov av store tall

Denne loven fastslår at gitt en sekvens X1, X2, ..., Xn, ... av uavhengige tilfeldige variabler med samme gjennomsnittlige fordeling E (Xi) = μ og varians Var (X) = σ2, og en kjent gjennomsnittlig prøve av:

Så for k> 0 må du:

Eller, likestilt:

showet

Først legger vi merke til følgende:

Siden X1, X2, ..., Xn er uavhengige, følger det at:

Derfor er det mulig å bekrefte følgende:

Deretter må vi, ved hjelp av Chebyshovs setning,:

Endelig kommer stolen fra det faktum at grensen til høyre er null når n har en tendens til uendelig.

Det skal bemerkes at denne testen ble gjort bare for tilfellet der variansen av Xi eksisterer; det vil si, det avviger ikke. Dermed observerer vi at stoet alltid er sant hvis E (Xi) eksisterer.

Chebyshovs grense teorem

Hvis X1, X2, ..., Xn, ... er en rekke uavhengige tilfeldige variabler slik at det er noen C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

showet

Da rekkefølgen av avvik er jevnt begrenset, har vi Var (Sn) ≤ C / n, for alle naturlige n. Men vi vet det:

Ved å gjøre en tendens til uendelig, følger følgende resultater:

Siden en sannsynlighet ikke kan overstige verdien av 1, oppnås det ønskede resultatet. Som følge av denne setningen kunne vi nevne det spesielle tilfellet av Bernoulli.

Ved et eksperiment ble gjentatt n ganger uavhengig av hverandre med to mulige resultater (suksess og fiasko), hvor p er sannsynligheten for suksess i hvert eksperiment, og X er en tilfeldig variabel som representerer antallet av suksesser og deretter for hver k> 0 du må:

Eksempel på størrelse

I form av varians, tillater ulikhet Chebyshev oss for å finne en prøvestørrelse n som er tilstrekkelig til å sikre at sannsynligheten for at | Sn-μ |> = k oppstår er så liten som ønsket, slik at en tilnærming til gjennomsnittet.

Nøyaktig, la X1, X2, ... Xn være et utvalg av uavhengige tilfeldige variabler av størrelse n og la oss anta at E (Xi) = μ og dens varians σ2. Da, på grunn av Chebyshovs ulikhet, må vi:

eksempel

Anta at X1, X2, ... Xn er et utvalg av uavhengige tilfeldige variabler med Bernoulli-distribusjon, slik at de tar verdien 1 med sannsynlighet p = 0,5.

Hva bør størrelsen på prøven være for å kunne garantere at sannsynligheten for at forskjellen mellom det aritmetiske midlet Sn og dets forventede verdi (overstiger mer enn 0,1) er mindre enn eller lik 0. 01?

oppløsning

Vi har det E (X) = μ = p = 0.5 og det Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. For ulikheten til Chebyshov, for alle k> 0 må vi:

Nå tar vi k = 0,1 og δ = 0,01, vi må:

På denne måten konkluderes det med at en prøvestørrelse på minst 2500 er nødvendig for å sikre at sannsynligheten for hendelsen | Sn - 0.5 |> = 0,1 er mindre enn 0,01.

Ulikheter skriver Chebyshov

Det er ulike ulikheter knyttet til ulikheten til Chebyshov. En av de mest kjente er Markov ulikhet:

I dette uttrykket er X en ikke-negativ tilfeldig variabel med k, r> 0.

Markov ulikhet kan ta forskjellige former. For eksempel, la Y være en nonnegativ tilfeldig variabel (så P (Y> = 0) = 1) og antar at E (Y) = μ eksisterer. Anta også at (E (Y))r= μr eksisterer for noe heltall r> 1. deretter:

En annen ulikhet er Gauss, som forteller oss at gitt en unimodal tilfeldig variabel X med modus på null, så for k> 0,

referanser

  1. Kai Lai Chung Elementær Probability Theory med stokastiske prosesser. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematikk og dets applikasjoner. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Sannsynlighet og statistiske applikasjoner. Inc. MEXICAN ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Diskret matematikk Løste problemer. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori og Problemer Problemer. McGraw-Hill.