Euclid's Theorem Formler, Demonstrasjon, Søknad og Øvelser

den Euclids teorem demonstrerer egenskapene til en høyre trekant ved å tegne en linje som deler den inn i to nye høyre trekanter som ligner på hverandre og er i likhet med den opprinnelige triangelen; da er det forholdsmessig forhold.

Euclid var en av de største matematikere og geometre i den antikke alderen som gjorde flere demonstrasjoner av viktige teoremer. En av de viktigste er den som bærer navnet hans, som har hatt en bred applikasjon.

Dette har vært slik fordi den gjennom denne teorien forklarer på en enkel måte de geometriske forholdene som eksisterer i den høyre trekant, hvor beina til dette er relatert til sine fremskrivninger i hypotenuseen.

index

• 1 Formler og demonstrasjon
  • 1.1 Stilling av høyden
  • 1.2 Stilling av bena
• 2 Forholdet mellom Euclids teoremer
• 3 Øvelser løst
  • 3.1 Eksempel 1
  • 3.2 Eksempel 2
• 4 referanser

Formler og demonstrasjon

Euclid teorem tyder på at all rettvinklet trekant, når en linje som representerer høyden svarende til spissen av den rette vinkelen er trukket til hipotenusa- to rettvinklede trekanter er dannet fra den opprinnelige.

Disse trekantene vil lignes på hverandre og vil også lignes på den opprinnelige trekanten, noe som betyr at deres like sider er proporsjonale med hverandre:

Vinklene til de tre trekanter er kongruente; det vil si når den roteres til 180 grader på toppunktet, faller en vinkel på den andre. Dette innebærer at alle vil være lik.

På denne måten kan du også verifisere likheten som eksisterer mellom de tre trekanter, ved likning av deres vinkler. Fra likheten av trekanter etablerer Euclid proporsjonene av disse fra to teoremer:

- Høydeorem.

- Benenes teoremåte.

Denne teorem har en bred applikasjon. I antikken ble det brukt til å beregne høyder eller avstander, noe som representerer et stort fremskritt for trigonometri.

Det er for tiden brukt på flere områder som er basert på matematikk, som engineering, fysikk, kjemi og astronomi, blant mange andre områder.

Høydeorem

Dette teorem angir at et hvilket som helst rettvinklet trekant, idet høyden trukket fra de rette vinkler til hypotenusen er den geometriske middelverdi er proporsjonal (kvadratet av høyden) mellom fremspringene av benene bestemmer hypotenusen.

Det vil si at torget av høyden vil være lik multiplikasjonen av de projiserte bena som danner hypotenusen:

h_c² = m _* n

showet

Gitt en trekant ABC, som er et rektangel på vertex C, genereres når tilsvarende høye tre like høye trekant, ADC og BCD er tegnet; Derfor er deres tilsvarende sider proporsjonale:

På en slik måte at høyden h_c som tilsvarer segmentet CD, tilsvarer hypotenus AB = c, så vi må:

Dette tilsvarer i sin tur:

Å fjerne hypotenusen (h_c), for å formere de to likestillingsmedlemmene må du:

h_{c *} h_{c =} m _* n

h_c² = m _* n

Dermed er verdien av hypotenusen gitt av:

Benenes teoremåte

Dette teorem angir at det i en hvilken som helst rettvinklet trekant, graden av hvert ben er proporsjonal geometriske middelverdi (kvadratet av hvert ben) mellom mål på hypotenusen (komplett), og hvert fremspring på dette:

b² = c _* m

til² = c_* n

showet

Gitt en trekant ABC, er at rektanglet til topp-punktet C, slik at dens hypotenus er c, ved å plotte høyden (h) projeksjonene i ben b, som er segmenter m og n henholdsvis, og som er videre bestemmes hypotenuseen.

Dermed har vi at høyden tegnet på den høyre trekant ABC genererer to like rette trekanter, ADC og BCD, slik at de tilsvarende sidene er proporsjonale, slik:

DB = n, som er projeksjonen av CB-benet på hypotenusen.

AD = m, som er projeksjonen av kateteret AC på hypotenusen.

Deretter bestemmes hypotenus c av summen av beina til fremspringene:

c = m + n

På grunn av likheten mellom trianglene ADC og BCD må vi:

Ovennevnte er det samme som:

Ved å rydde beinet "a" for å formere de to likestillingsmedlemmene må man:

til _* a = c _* n

til² = c _* n

Dermed er verdien av benet "a" gitt av:

På samme måte, ved likheten mellom trianglene ACB og ADC, må vi:

Ovenstående er lik:

Ved å rydde beinet "b" for å formere de to likestillingsmedlemmene må man:

b _* b = c _* m

b² = c _* m

Dermed er verdien av benet "b" gitt av:

Forholdet mellom Euclids teoremer

Teoriene med henvisning til høyde og ben er relatert til hverandre fordi måling av begge er laget med hensyn til hypotenusen i den høyre trekanten.

Gjennom Euclids teoremeres forhold kan også verdien av høyde bli funnet; det er mulig ved å rydde verdiene til m og n fra legetormen og de erstattes i høydestolen. På denne måten er høyden lik multiplikasjon av beina, dividert med hypotenusen:

b² = c _* m

m = b² ÷ c

til² = c _* n

n = a² ÷ c

I høydestolen er m og n erstattet:

h_c² = m _* n

h_c² = (b² ÷ c) _* (en² ÷ c)

h_c = (b²_* til²) ÷ c

Løste oppgaver

Eksempel 1

Gitt trianglen ABC, rektangel i A, bestemme målingene på AC og AD, hvis AB = 30 cm og BD = 18 cm

oppløsning

I dette tilfellet har vi målinger av en av de projiserte benene (BD) og av en av benene på den opprinnelige trekanten (AB). På den måten kan du bruke benetormen til å finne verdien av BC-benet.

AB² = BD _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Verdien av CD-katetet kan bli funnet å vite at BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nå er det mulig å bestemme verdien av kateteret AC, og påfør benetormen igjen:

AC² = CD _* BD

AC² = 32 _* 50

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

For å bestemme verdien av høyden (AD), brukes høydestolen, siden verdiene til de projiserte benene CD og BD er kjent:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Eksempel 2

Bestem verdien av høyden (h) av en trekant MNL, rektangel i N, ved å vite målingene i segmentene:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

oppløsning

Du har måling av ett av beina som projiseres på hypotenusen (PM), samt målingene på beina til den opprinnelige trekanten. På denne måten kan legteormen brukes for å finne verdien av det andre projiserte benet (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Som vi allerede vet verdien av beina og hypotenusen, gjennom forholdet mellom høyde og bens forhold, kan verdien av høyden bestemmes:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* til²) ÷ c.

h = (10²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

referanser

1. Braun, E. (2011). Chaos, fraktaler og rare ting. Økonomisk kulturfond.
2. Cabrera, V. M. (1974). Moderne matematikk, bind 3.
3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). Tredje år matte Caracas: Santillana.
4. Encyclopaedia Britannica, jeg. (1995). Hispanic Encyclopedia: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
5. Euclid, R. P. (1886). Euclids Elementer av geometri.
6. Guardeño, A.J. (2000). Matematikkens arv: Fra Euclid til Newton, geniene gjennom hans bøker. Universitetet i Sevilla.