Moivres teorem om hva som består av, demonstrasjon og løste øvelser

den Moivres teorem bruker grunnleggende prosesser av algebra, som krefter og utvinning av røtter i komplekse tall. Teorien ble opplyst av den berømte franske matematikeren Abraham de Moivre (1730), som tilhørte komplekse tall med trigonometri.

Abraham Moivre gjorde denne foreningen gjennom uttrykk for bryst og cosinus. Denne type matematisk formel som genereres gjennom hvilket det er mulig å heve et komplekst tall z til strøm n, som er et positivt helt tall større enn eller lik 1.

index

• 1 Hva er Moivre-setningen??
• 2 Demonstrasjon
  • 2.1 Induktiv base
  • 2.2 Induktiv hypotese
  • 2.3 Kontroller
  • 2.4 Negativt heltall
• 3 Øvelser løst
  • 3.1 Beregning av positive krefter
  • 3.2 Beregning av negative krefter
• 4 referanser

Hva er Moivre-setningen??

Moivre satser angir følgende:

Hvis du har et komplekst tall i polarformen z = r_ɵ, hvor r er modulen av det komplekse tall z, og vinkelen ɵ det kalles amplitude eller argument av ethvert komplekst tall med 0 ≤ ɵ ≤ 2π, for å beregne det n-te potens trenger ikke bli multiplisert med seg selv n-ganger; det vil si, det er ikke nødvendig å gjøre følgende produkt:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{* *} r_{* *} r_{* * ... *} r_ɵ   n-tider.

Tvert imot sier teormen at når du skriver z i sin trigonometriske form, for å beregne den nte kraften, fortsetter vi som følger:

Hvis z = r (cos + + i _* synd)) så zⁿ = rⁿ (cos n * + + i _* synd n *)).

For eksempel, hvis n = 2, så z² = r²[cos 2 ()) + i synd 2 ())]. Hvis du har det n = 3, så z³ = z² _* z. I tillegg:

z³ = r²[cos 2 ()) + i sin 2 ())] _* r [cos 2 (∩) + i sin 2 ())] = r³[cos 3 ()) + i sin 3 ())].

På denne måten kan trigonometriske forhold for sinus og cosinus oppnås for vinkler av vinkel, så lenge vinkelenes trigonometriske forhold er kjent..

På samme måte kan det brukes til å finne mer presise og mindre forvirrende uttrykk for den nte rotten av et komplekst tall z, slik at zⁿ = 1.

For å bevise den teorem av Moivre prinsippet for induksjon benyttes: hvis et heltall "a" har en "P" egenskap, og hvis for hvilket som helst heltall "n" er større enn "a" har den egenskap at "P" er tilfredsstiller at n + 1 også har egenskapen "P", så har alle heltal større enn eller lik "a" egenskapen "P".

showet

På denne måten blir beviset på teorien gjort med følgende trinn:

Induktiv base

Kontroller først for n = 1.

Som z¹ = (r (cos + + i _* sen)))¹ = r¹ (cos + + i _* sen))¹ = r¹ [cos (1_* )) + I _* sen (1_* ))], Har vi det for n = 1 er setningen oppfylt.

Induktiv hypotese

Det antas at formelen er sant for noen positive heltall, det vil si n = k.

z^k = (r (cos + + i _* sen)))^k  = r^k (cos k + + i _* sen k)).

testing

Det er vist seg å være sant for n = k + 1.

Som z^{k + 1}= z^k _* z, så z^{k + 1} = (r (cos + + i _* sen)))^{k + 1} = r^k (cos kiv + i _* sen k)) _*  r (cos + + i_* senƟ).

Da multipliserer uttrykkene:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos k))_*(cosı) + (cos k))_*(i_*seni) + (i _* sen k))_*(cosı) + (i _* sen k))_*(i_* senƟ)).

For et øyeblikk blir r-faktoren ignorert^{k + 1},  og vanlig faktor jeg er fjernet:

(cos k))_*(cosı) + i (cos k))_*(sinjon) + i (sen k))_*(cosı) + i²(sen k))_*(SenƟ).

Hvordan jeg² = -1, vi erstatter det i uttrykket, og vi får:

(cos k))_*(cosı) + i (cos k))_*(sinjon) + i (sen k))_*(cosı) - (sen k))_*(SenƟ).

Nå er den virkelige og den imaginære delen bestilt:

(cos k))_*(cosı) - (sen k))_*(sinjon) + i [(sen k))_*(cosı) + (cos k))_*(SenƟ)].

For å forenkle uttrykket blir de trigonometriske identiteter av summen av vinkler for cosinus og sinus anvendt, som er:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = synd A _* cos B - cos A _* cos B.

I dette tilfellet er variablene ψ og k½. Ved å bruke de trigonometriske identitetene har vi:

cos k. _* cosƟ -  sen k½ _* sen = = cos (k + +))

sen k½ _* cos + cos cos _* seni = sen (k + +))

På denne måten forblir uttrykket:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (k + +)) + i _* sen (k + +)))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1)]] + i _* sen [(k +1)]]).

Dermed kan det vises at resultatet er sant for n = k + 1. Ved prinsippet om matematisk induksjon konkluderes det med at resultatet er sant for alle positive heltal; det vil si n ≥ 1.

Helhet negativ

Moivres teorem brukes også når n ≤ 0. Vurder et negativt heltall "n"; da kan "n" skrives som "-m", det vil si n = -m, hvor "m" er et positivt heltall. derfor:

(cos + + i _* sen))ⁿ = (cos + + i _* sen)) ^-m

For å få eksponenten "m" på en positiv måte, er uttrykket skrevet omvendt:

(cos + + i _* sen))ⁿ = 1 ÷ (cos + + i _* sen)) ^m

(cos + + i _* sen))ⁿ = 1 ÷ (cos mí + i _* sen m))

Nå blir det brukt at hvis z = a + b * i er et komplekst tall, så 1 ÷ z = a-b * i. derfor:

(cos + + i _* sen))ⁿ = cos (mí) - i _* sen (m).

Ved å bruke cos (x) = cos (-x) og at -sen (x) = sin (-x) må vi:

(cos + + i _* sen))ⁿ = [cos (mí) - i _* sen (mí)]

(cos + + i _* sen))ⁿ = cos (- m) + i _* sen (-mí)

(cos + + i _* sen))ⁿ = cos (n½) - i _* sen (n)).

På den måten kan vi si at teormen gjelder alle heltallverdier av "n".

Løste oppgaver

Beregning av positive krefter

En av operasjonene med komplekse tall i sin polare form er multiplikasjonen mellom to av disse; I så fall multipliseres modulene og argumentene blir lagt til.

Hvis du har to komplekse tall z₁ og z₂ og du vil beregne (z₁* z₂)², Så fortsetter vi som følger:

z₁z₂ = [r₁ (cos.₁ + jeg _* sen.₁)] * [r₂ (cos.₂ + jeg _* sen.₂)]

Distribusjonseiendommen er brukt:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos._{1 *} cos.₂ + jeg _* cos._{1 *} jeg _* sen.₂ + jeg _* sen._{1 *} cos.₂ + jeg²_* sen._{1 *} sen.₂).

De er gruppert og tar begrepet "jeg" som en felles uttryksfaktor:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos._{1 *} cos.₂ + jeg (cos._{1 *} sen.₂ + sen._{1 *} cos.₂) + i²_* sen._{1 *} sen.₂]

Hvordan jeg² = -1, erstattes i uttrykket:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos._{1 *} cos.₂ + jeg (cos._{1 *} sen.₂ + sen._{1 *} cos.₂) - sen._{1 *} sen.₂]

De reelle vilkårene er omgruppert med ekte og imaginær med imaginære:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos._{1 *} cos.₂ - sen._{1 *} sen.₂) + i (cos._{1 *} sen.₂ + sen._{1 *} cos.₂)]

Til slutt brukes de trigonometriske egenskaper:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (.₁ + ɵ₂) + i sen (.₁ + ɵ₂)].

Som konklusjon:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (.₁ + ɵ₂) + i sen (.₁ + ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (.₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (.₁ + ɵ₂)].

Øvelse 1

Skriv det komplekse tallet i polarform hvis z = -2-2i. Deretter beregner du Z med Moivre's teorem⁴.

oppløsning

Det komplekse tallet z = -2 -2i uttrykkes i rektangulær form z = a + bi, hvor:

a = -2.

b = -2.

Å vite at polarformen er z = r (cos + + i _* synd)), må du bestemme verdien av "r" -modulen og verdien av argumentet "" ". Som r = √ (a² + b²) erstattes de oppgitte verdiene:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Deretter, for å bestemme verdien av "∩", blir den rektangulære formen av denne påført, som er gitt ved formelen:

brunfarge = = b ÷ a

tan = = (-2) ÷ (-2) = 1.

Som tan ()) = 1 og du må<0, entonces se tiene que:

= = Arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5¸ / 4.

Siden verdien av "r" og "" "allerede var oppnådd, kan det komplekse tallet z = -2-2i uttrykkes i polarformen ved å erstatte verdiene:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5/4)).

Nå er Moivre-teorien brukt til å beregne z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5/4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Øvelse 2

Finn produktet av de komplekse tallene ved å uttrykke det i sin polare form:

z1 = 4 (cos 50^eller + jeg_* 50 sen^eller)

z2 = 7 (cos 100^eller + jeg_* 100 sen^eller).

Deretter beregner du (z1 * z2) ².

oppløsning

Først blir produktet av de oppgitte tallene dannet:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^eller + jeg_* 50 sen^eller)] * [7 (cos 100^eller + jeg_* 100 sen^eller)]

Multipliser modulene sammen, og legg til argumentene:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^eller + 100^eller) + i_* sen (50^eller + 100^eller)]

Uttrykket er forenklet:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^eller + (i_* 150 sen^eller).

Til slutt blir Moivre-teorien anvendt:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^eller + (i_* 150 sen^eller)) ² = 784 (cos 300)^eller + (i_* 300 sen^eller)).

Beregning av negative krefter

Å dele to komplekse tall z₁ og z₂ I sin polare form er modulen delt og argumentene trekkes fra. Dermed er kvotienten z₁ ÷ z₂ og det uttrykkes som følger:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (γ₁- ɵ₂) + i sen (.₁ - ɵ₂)]).

Som i forrige tilfelle, hvis du ønsker å beregne (z1 z2 ÷) ³ første divisjon er utført og deretter teoremet brukes Moivre.

Øvelse 3

gitt:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

beregne (z1 ÷ z2) ³.

oppløsning

Etter trinnene beskrevet ovenfor kan det konkluderes med at:

(Z1 Z2 ÷) ³ = ((4/12) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2)))

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

referanser

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Fra Moivre's Theorem for Trig Identities. Wolfram Demonstrations Project.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematikkens leksikon.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra og trigonometri.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Lineær algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus. Pearson Education.