Tales of Miletus Theorem Først, Andre og Eksempler



Den første og den andre Teorem av Thales of Miletus De er basert på å bestemme trekanter fra andre lignende (første teorem) eller omkretser (andre teoremåte). De har vært svært nyttige på ulike områder. For eksempel viste den første teorien seg veldig nyttig for å måle store strukturer når det ikke var noen sofistikerte måleinstrumenter.

Thales of Miletus var en gresk matematiker som ga gode bidrag til geometri, hvorav disse to teoremene skiller seg ut (i noen tekster skriver de det også som Thales) og deres nyttige applikasjoner. Disse resultatene har blitt brukt gjennom historien og har gitt lov til å løse et bredt spekter av geometriske problemer.

index

  • 1 Første Talesetning
    • 1.1 Søknad
    • 1.2 Eksempler
  • 2 Second Story of Tales
    • 2.1 Søknad
    • 2.2 Eksempel
  • 3 referanser

Første teoremåte av Tales

Tales første teoremåte er et veldig nyttig verktøy som blant annet gjør det mulig å bygge en trekant som ligner på en annen, tidligere kjent. Herfra kan du utlede ulike versjoner av teorem som kan brukes i flere sammenhenger.

Før du gir ditt uttalelse, husk noen forestillinger om likhet med trekanter. I hovedsak er to trekanter liknende hvis deres vinkler er kongruente (de har samme mål). Dette gir opphav til det faktum at hvis to trekanter er like, er deres tilsvarende sider (eller homologer) proporsjonale.

Den første teorem av Thales sier at hvis en rett linje trekkes parallelt med en av sidene i en gitt trekant, vil den nye trekant som er oppnådd, lignes på den første trekant.

Du får også et forhold mellom de vinklene som dannes, som vist i den følgende figuren.

søknad

Blant de mange bruksområdene er det en av spesiell interesse og har å gjøre med en av måtene som ble målt på store bygninger i antikken, hvor Thales levde og hvor de moderne måleapparatene ikke var tilgjengelige. de eksisterer nå.

Det er sagt at dette var hvordan Thales klarte å måle den høyeste pyramiden i Egypt, Cheops. For dette antok Thales at refleksjonene fra solstrålene berørte bakken som danner parallelle linjer. Under denne forutsetningen stakk han en stang eller stokk vertikalt i bakken.

Deretter brukt han likheten av de to resulterende trekanter, et som er dannet ved lengden av skyggen av pyramiden (som kan beregnes lett) og høyden av pyramiden (ukjente), og den andre er dannet av lengder av skyggen og stangens høyde (som også lett kan beregnes).

Ved å bruke proporsjonaliteten mellom disse lengdene, kan du fjerne og kjenne høyden på pyramiden.

Selv om denne målemetoden kan gi en signifikant feil i tilnærming med hensyn til nøyaktigheten av høyden og avhenger av parallelliteten til solens stråler (som igjen avhenger av en presis tid), må vi innse at det er en veldig genial ide og det ga et godt målealternativ for tiden.

eksempler

Finn verdien av x i hvert tilfelle:

oppløsning

Her har vi to linjer kuttet av to parallelle linjer. Ved Thales første Theorem har man at deres respektive sider er proporsjonale. Spesielt:

oppløsning

Her har vi to trekanter, en av disse dannet av et segment parallelt med en av sidene av den andre (nettopp siden av lengden x). Ved første Tales teoremåte må du:

Second Story of Tales

Thales andre teoremetode bestemmer en riktig trekant innskrevet til en omkrets i hvert punkt av det samme.

En trekant påskåret til en omkrets er en trekant som står på omkretsen, og er således inneholdt i denne.

Spesielt, den andre teoremet Slike tilstander: gitt en omkrets av sentrum O og diameter AC, hvert punkt B av omkretsen (annet enn A og C) bestemmer en trekant ABC med rett vinkel

Som rettferdighet må du merke at både OA og OB og OC samsvarer med radiusen av omkretsen; Derfor er deres målinger det samme. Derfra er det oppnådd at trianglene OAB og OCB er ensomme, hvor

Det er kjent at summen av vinklene på en trekant er lik 180º. Ved å bruke dette med trekant ABC må du:

2b + 2a = 180º.

Tilsvarende har vi det b + a = 90º og b + a =

Legg merke til at den rette triangelen som tilbys av Thales andre teorem, er nettopp det hvis hypotenuse er lik diameteren av omkretsen. Derfor er det helt bestemt av halvcirkelen som inneholder trepunktspunktene; i dette tilfellet den øvre halvcirkel.

Legg også merke til at i den høyre trekant oppnådd ved Thales andre teoremåte, er hypotenusen delt inn i to like deler av OA og OC (radius). Til gjengjeld er dette målet lik segmentet OB (også radiusen), som tilsvarer medianen av trekanten ABC av B.

Med andre ord er lengden på medianen til den høyre trekant ABC som svarer til toppunktet B, helt bestemt av halvdelen av hypotenusen. Husk at medianen av en trekant er segmentet fra en av toppene til midtpunktet på motsatt side; i dette tilfellet BO-segmentet.

Omkretset omkrets

En annen måte å se Thales andre teorem er gjennom en sirkel omkranset til en riktig trekant.

Generelt sett består en sirkel som er omkranset av en polygon av omkretsen som passerer gjennom hver av sine vinkler, når det er mulig å spore det.

Jeg bruker andre teoremet slik gitt en rettvinklet trekant, kan vi alltid konstruere en omskrevne til dette, med radius lik halvparten av hypotenusen og omskrevet (midten av sirkelen) som midtpunktet av hypotenusen.

søknad

En svært viktig anvendelse av Tales andre teoremetode, og kanskje den mest brukte, er å finne tangentlinjer til en gitt omkrets, ved et punkt P utenfor dette (kjent).

Legg merke til at gitt en omkrets (tegnet i blått på figuren nedenfor) og et ytre punkt P, er det to tangenter til omkretsen som går gjennom P. Sean T og T 'i tangeringspunkter, r radien av sirkelen og Eller sentrum.

Det er kjent at segmentet som går fra sentrum av en sirkel til et punkt av tangens av det, er vinkelrett på denne tangentlinjen. Deretter er OTP-vinkelen rett.

Fra det vi så tidligere i Thales første teori og dens forskjellige versjoner, ser vi at det er mulig å innskrive OTP-trekanten i en annen omkrets (i rødt).

Analogt er det oppnådd at OT'P-trekanten kan skrives inn i samme forrige omkrets.

For det andre addisjonsteorem Slik får vi den nye sirkeldiameter er nøyaktig hypotenusen i trekanten OTP (som er lik hypotenusen i trekanten OT'P), og sentrum er midtpunktet av hypotenusen.

For å beregne sentrum av den nye sirkelen nok deretter beregne midtpunktet mellom senter si M- innledningsvise omkrets (som allerede er kjent), og punktet P (også kjent). Deretter vil radiusen være avstanden mellom dette punktet M og P.

Med radius og sentrum av den røde sirkelen finner vi sin kartesiske ligning, som vi husker er gitt av (x-h)2 + (Y-k)2 = c2, hvor c er radiusen og punktet (h, k) er senterets sirkel.

Å vite nå likningene i begge omkretsene, kan vi skjære dem ved å løse likestillingssystemet dannet av disse, og dermed få punkter av tangens T og T '. Til slutt, for å kjenne de ønskede tangentlinjer, er det nok å finne ligningen av de rette linjene som går gjennom T og P, og av T 'og P.

eksempel

Vurder en omkrets av diameter AC, midtpunkt O og radius 1 cm. La B være et punkt på omkretsen slik at AB = AC. Hvor mye måler AB?

oppløsning

Ved Thales andre teoremodell har vi at trekanten ABC er et rektangel og hypotenusen tilsvarer diameteren, som i dette tilfellet måler 2 cm (radius er 1 cm). Da, etter Pythagorasetningen, må vi:

referanser

  1. Ana Lira, P.J. (2006). Geometri og trigonometri. Zapopan, Jalisco: Terskelversjoner.
  2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
  3. Gutiérrez, Á. Á. (2004). Metodikk og anvendelser av matematikk i E.S.O. Utdanningsdepartementet.
  4. Iger. (2014). Matematikk Andre Semester Zaculeu. Guatemala: IGER.
  5. José Jiménez, L.J. (2006). Matematikk 2. Zapopan, Jalisco: Terskelversjoner.
  6. M., S. (1997). Trigonometri og Analytisk Geometri. Pearson Education.
  7. Pérez, M. A. (2009). En historie om matematikk: Utfordringer og erobringer gjennom deres tegn. Editorial Vision Books.
  8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Flat Analytisk Geometri. Venezuelansk redaksjonell C. A.