Varignons teoremeksempler og løste øvelser



den Varignon setning fastslår at hvis i noen firkantene noen punkter kontinuerlig blir sammen med sidene, genereres et parallellogram. Denne teorien ble formulert av Pierre Varignon og publisert i 1731 i boken Elementer av matematikk".

Publikasjonen av boka skjedde år etter hans død. Siden Varignon var den som presenterte denne teorien, er parallellogrammet oppkalt etter ham. Teoremet er basert på euklidisk geometri og presenterer geometriske forhold av firkantene.

index

  • 1 Hva er Varignons setning??
  • 2 Eksempler
    • 2.1 Første eksempel
    • 2.2 andre eksempel
  • 3 Øvelser løst
    • 3.1 Øvelse 1
    • 3.2 Øvelse 2
    • 3.3 Øvelse 3
  • 4 referanser

Hva er Varignons teoremåte??

Varignon hevdet at en figur som er definert av midtpunktene til en firkant, alltid vil resultere i et parallellogram, og området av dette vil alltid være halvparten av firkanten hvis det er flatt og konveks. For eksempel:

I figuren kan vi se en firkant med et område X, hvor midtpunktene til sidene er representert av E, F, G og H, og når de er sammenføyde, danne et parallellogram. Arealet av firkanten er summen av områdene av trekanter som dannes, og halvparten av dette tilsvarer arealet av parallellogrammet.

Siden området av parallellogrammet er halvparten av firkanten, kan perimeteret til dette parallellogramet bestemmes.

Dermed er omkretsen lik summen av lengdene av diagonalene til firkanten; Dette skyldes at medianen av firkanten blir diagonalene til parallellogrammet.

På den annen side, hvis lengdene på firkantens diagonaler er nøyaktig de samme, vil parallellogrammet være en diamant. For eksempel:

Fra figuren kan det ses at en rhombus blir oppnådd ved å bli med midtpunktene på sidene av firkanten. På den annen side, hvis diagonalene til firkanten er vinkelrett, vil parallellogrammet bli et rektangel.

Også parallellogrammet vil være en firkant når firkanten har diagonaler med samme lengde og også være vinkelrett.

Statsen er ikke bare oppfylt i firkantede flater, det er også implementert i romlig geometri eller i store dimensjoner; det vil si i de firesidene som ikke er konvekse. Et eksempel på dette kan være en oktaedron, hvor midtpunktene er sentroider i hvert ansikt og danner en parallellpiped.

På denne måten kan man få parallellogrammer ved å bli med i midtpunktene til forskjellige figurer. En enkel måte å kontrollere om dette virkelig er sant er at motsatte sider må være parallelle når de forlenges.

eksempler

Første eksempel

Forlengelse av motsatte sider for å vise at det er et parallellogram:

Andre eksempel

Ved å bli med midtpunktene til en diamant får vi et rektangel:

Teorien brukes i forening av punkter plassert midt på sidene av en firkant, og kan også brukes til andre typer punkter, for eksempel i en treseksjon, penta-seksjon eller til og med et uendelig antall seksjoner (f.eks. nth), for å dele sidene av noen firkant i segmenter som er proporsjonale.

Løste oppgaver

Øvelse 1

Vi har i figuren en firkantet ABCD i område Z, hvor midtpunktene til sidene av dette er PQSR. Kontroller at et parallellogram av Varignon er dannet.

oppløsning

Det kan verifiseres at når man inngår PQSR-punktene, dannes et parallellogram av Varignon, nettopp fordi i setningen er midtpunktene til et firkantet gitt.

For å demonstrere dette, er midtpunktene PQSR forenet, så det kan ses at en annen firkant er dannet. For å vise at det er et parallellogram, må du bare tegne en rett linje fra punkt C til punkt A, slik at du kan se at CA er parallell med PQ og RS.

På samme måte, ved å utvide PQRS-sidene kan det bemerkes at PQ og RS er parallelle, som vist i følgende bilde:

Øvelse 2

Den har et rektangel slik at lengden på alle sider er like. Når man går med midtpunktene til disse sidene, dannes en rhombus ABCD, som er delt med to diagonaler AC = 7cm og BD = 10cm, som sammenfaller med målingene på rektangelens sider. Bestem diamant- og rektangelområdene.

oppløsning

Husk at området for det resulterende parallellogrammet er halvt firekant, du kan bestemme området for disse å vite at målingen av diagonalene faller sammen med rektangelens sider. Så du må:

AB = D

CD = d

Enrektangel = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Enrombe = A rektangel / 2

Enrombe = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Øvelse 3

Vi har i figuren en firkant som har forening av punktene EFGH, lengden på segmentene er gitt. Bestem om union av EFGH er et parallellogram.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

oppløsning

Gitt lengden på segmentene, er det mulig å verifisere om det er proporsjonalitet mellom segmentene; det vil si at vi kan vite om disse er parallelle, relaterer seg til firkantene på følgende måte:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Da er proporsjonaliteten kontrollert, siden:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

På samme måte, når du plotter en linje fra punkt B til punkt D, kan vi se at EH er parallell med BD, akkurat som BD er parallell med FG. På den annen side er EF parallell med GH.

På denne måten kan det fastslås at EFGH er et parallellogram, fordi de motsatte sidene er parallelle.

referanser

  1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Flat Euklidisk geometri. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Studie av geometri. Mexico: Hispanic - Amerikansk.
  4. Ramo, G. P. (1998). Ukjente løsninger på problemene med Fermat-Torricelli. ISBN - Uavhengig arbeid.
  5. Vera, F. (1943). Elementer av geometri. Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Noen eventyr i euklidisk geometri. Sør-Afrika.