Binomialteorem demonstrasjon og eksempler

den binomialteorem er en ligning som forteller oss hvordan å utvikle et uttrykk for skjemaet (a + b)ⁿ for noen naturlige tall n. En binomial er ikke mer enn summen av to elementer, som (a + b). Det tillater oss også å vite for et begrep gitt av a^kb^n-k Hva er koeffisienten som følger med den.

Denne teorien er vanligvis tilskrevet den engelske oppfinner, fysiker og matematiker Sir Isaac Newton; Det har imidlertid vist seg flere poster som indikerer at i Midtøsten var dens eksistens allerede kjent, rundt 1000 år.

index

• 1 kombinatoriske tall
• 2 Demonstrasjon
• 3 eksempler
  • 3.1 Identitet 1
  • 3.2 Identitet 2
• 4 En annen demonstrasjon
  • 4.1 Demonstrasjon ved induksjon
• 5 nysgjerrigheter
• 6 Referanser

Kombinerende tall

Binomialteormen forteller oss matematisk følgende:

I dette uttrykket er a og b reelle tall og n er et naturlig tall.

Før vi gir demonstrasjonen, la oss se noen grunnleggende begreper som er nødvendige.

Det kombinatoriske tallet eller kombinasjonene av n i k er uttrykt som følger:

Dette skjemaet uttrykker verdien av hvor mange delmengder med k elementer kan velges fra et sett med n elementer. Dens algebraiske uttrykk er gitt av:

La oss se et eksempel: anta at vi har en gruppe på syv baller, hvorav to er røde og resten er blå.

Vi ønsker å vite hvor mange måter vi kan bestille dem på rad. En måte kan være å plassere de to røde i første og andre posisjoner, og resten av ballene i de resterende posisjonene.

I likhet med det forrige tilfellet kunne vi gi de røde ballene henholdsvis den første og den siste stillingen, og okkuper de andre med blå baller.

Nå, en effektiv måte å telle hvor mange måter vi kan bestille ballene på rad, er å bruke kombinatoriske tall. Vi kan se hver posisjon som et element i følgende sett:

Deretter er det bare nødvendig å velge et delsett av to elementer, hvor hvert av disse elementene representerer stillingen som de røde ballene vil oppta. Vi kan gjøre dette valget i henhold til forholdet gitt av:

På denne måten har vi at det finnes 21 måter å sortere slike baller på.

Den generelle ideen om dette eksemplet vil være svært nyttig i demonstrasjon av binomialteoremet. La oss se på et bestemt tilfelle: Hvis n = 4, har vi (a + b)⁴, som ikke er noe mer enn:

Når vi utvikler dette produktet, har vi summen av betingelsene oppnådd ved å multiplisere et element av hver av de fire faktorene (a + b). Dermed vil vi ha vilkår som vil være av skjemaet:

Hvis vi ønsket å få uttrykket for skjemaet til⁴, bare multiplisere på følgende måte:

Vær oppmerksom på at det kun er en måte å skaffe dette elementet på; men hva skjer hvis vi nå ser etter skjemaets form til²b²? Siden "a" og "b" er reelle tall og derfor er den kommutative loven gyldig, har vi en måte å få denne termen på å multiplisere med medlemmene som angitt av pilene.

Å utføre alle disse operasjonene er vanligvis litt kjedelig, men hvis vi ser begrepet "a" som en kombinasjon der vi ønsker å vite hvor mange måter vi kan velge to "a" fra et sett av fire faktorer, kan vi bruke ideen om det forrige eksempelet. Så har vi følgende:

Så, vi vet at i den endelige utviklingen av uttrykket (a + b)⁴ Vi har nøyaktig 6a²b². Ved å bruke den samme ideen til de andre elementene, må du:

Deretter legger vi til uttrykkene som er oppnådd tidligere, og vi må:

Det er en formell demonstrasjon for det generelle tilfellet der "n" er et naturlig tall.

showet

Vær oppmerksom på at vilkårene som forblir når du utvikler (a + b)ⁿ er av skjemaet til^kb^n-k, hvor k = 0,1, ..., n. Ved hjelp av tanken på det forrige eksempelet, velger vi form av "k" variabler "en" av "n" faktor er:

Ved å velge på denne måten velger vi automatisk n-k variabler "b". Fra dette følger at:

eksempler

Vurderer (a + b)⁵, Hva ville det være sin utvikling?

Ved binomialteorem må vi:

Binomialteormen er veldig nyttig hvis vi har et uttrykk der vi vil vite hva koeffisienten til et bestemt begrep er uten å måtte utføre den fulle utviklingen. Som et eksempel kan vi ta følgende spørsmål: Hva er koeffisienten til x⁷og⁹ i utviklingen av (x + y)¹⁶?

Ved binomialteormen har vi at koeffisienten er:

Et annet eksempel ville være: hva er koeffisienten til x⁵og⁸ i utviklingen av (3x-7y)¹³?

Først omskriver vi uttrykket på en praktisk måte; dette er:

Deretter har vi ved hjelp av binomialteormen den ønskede koeffisienten når vi har k = 5

Et annet eksempel på bruken av denne setningen er å demonstrere noen vanlige identiteter, som de som er nevnt nedenfor.

Identitet 1

Hvis "n" er et naturlig tall, må vi:

For demonstrasjonen bruker vi binomialteormen, hvor både "a" og "b" tar verdien av 1. Da har vi:

På denne måten har vi bevist den første identiteten.

Identitet 2

Hvis "n" er et naturlig tall, da

Ved binomialteorem må vi:

En annen demonstrasjon

Vi kan lage en annen demonstrasjon for binomialteormen ved hjelp av induktiv metode og pascalidentitet, som forteller oss at hvis "n" og "k" er positive heltall som oppfyller n ≥ k, så:

Demonstrasjon ved induksjon

Først må vi se at den induktive basen er oppfylt. Hvis n = 1, må vi:

Faktisk ser vi at det er oppfylt. La nå n = j slik at den er oppfylt:

Vi vil se at for n = j + 1 er det oppfylt at:

Så må vi:

Ved hypotese vet vi at:

Deretter bruker du den fordelende eiendommen:

Deretter utvikler vi hver summasjon vi har:

Nå, hvis vi grupperer sammen på en enkel måte, må vi:

Ved hjelp av pascals identitet må vi:

Endelig merk at:

Derfor ser vi at binomialteorien er oppfylt for alle "n" som tilhører det naturlige nummeret, og med dette slutter testen.

kuriositeter

Det kombinatoriske tallet (nk) kalles også binomialkoeffisienten fordi det er nettopp koeffisienten som vises i utviklingen av binomialet (a + b)ⁿ.

Isaac Newton ga en generalisering av denne setningen for saken der eksponenten er et reelt tall; denne teorem er kjent som Newtons binomialteorem.

Allerede i antikken var dette resultatet kjent for det spesielle tilfellet der n = 2. Denne saken er nevnt i elementer av euklider.

referanser

1. Johnsonbaugh Richard. Diskret matematikk PHH
2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematikk og dets applikasjoner. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D. og Marc Lipson. Diskret matematikk. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskret og kombinatorisk matematikk. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskret matematikk og Combinatoria.Anthropos